I denne emneopgave vil jeg gennemgå emnet vektorregning. Dette vil jeg gøre på den måde, at jeg først gennemgår en lang række teori samtidig med at jeg kommer med nogle eksempler på brugen af denne teori samt nogle enkelte beviser. Dernæst vil jeg så benytte teorien til at løse de i opgaveformuleringen givne opgaver.

Teori

Generelt om vektorer

En vektor er defineret som mængden af alle pile, der peger i samme retning og har samme længde. Det vil sige at to pile godt kan repræsentere den samme vektor, blot de har samme længde og retning.

En vektor betegnes som et bogstav med en pil over. Et eksempel kunne være vektor a, som skrives som →a. Et eksempel på en repræsentant for →a kunne så være en pil der begynder i punktet A og slutter i punktet B. Denne pil vil så hedde →AB.

Skal man beskrive længden af en vektor skrives dette som →a, som så betyder længden af vektor a.

En speciel vektor er vektoren med længden 0. Denne kaldes for nulvektoren og betegnes →0. Modsat så kaldes alle vektorer med en længde, altså alle undtagen nulvektoren, for egentlige vektorer.

En modsatrettet vektor er en vektor der vender den anden vej. Denne skrives fx som -→a. Altså sætter man minus foran en vektor, skal man blot vende den om

Addition af vektorer

Addition af vektorer handler, som det fremgår af navnet, om at lægge vektorer sammen. Det vil sige at hvis man har to vektorer, fx →a og →b, så bliver sumvektoren den vektor der fremkommer, når de to vektorer placeres efter hinanden. Denne vektor starter så hvor →a starter, og slutter hvor →b slutter. Således dannes der en trekant. I denne trekant kan man så sige at man har punkterne A, B og C. I så fald vil →AB repræsentere →a, →BC vil repræsentere →b, og så gælder det at →a+→b = →AB+→BC= →AC. Sumvektoren skrives så som →a+b.

Noget der er vigtigt at vide i forbindelse med addition af vektorer, er at rækkefølgen er ligegyldig. Altså at →a+b = →b+a. Og dermed er det ligegyldigt om starter med →a og derefter finder →b eller om man gør det omvendt. Dette kaldes for den kommutative lov.

En anden lov er den associative lov. Denne siger at hvis man har tre vilkårlige vektorer, fx →a, →b og →c, og man ved addition af disse sætter parenteser omkring, så har det ingen betydning hvor parenteserne er placeret. Altså (→a + →b) + →c = →a + (→b + →c).

Multiplikation af vektor med tal

Dette handler om at gange en vektor med et tal. Hvis jeg lader→a være en egentlig vektor, og lader t stå for et vilkårligt tal, så gælder følgende.

t*→a = t*→a = t*→aHvis t>0-t * →a Hvis t<0

Dette skal forstås således, at hvis t er positiv, så er t * →a ensrettet med →a. Men er t derimod negativ, så er t * →a modsatrettet af →a.

Ved t*→a forstås længden. Ved →a forstås længden af en vektor. Og ved t forstås den numeriske værdi. Numerisk værdi betyder at tallet altid skal være positivt eller nul,

En ting der ligeledes gælder er følgende.

t * →0 = →0

Her ses det så at t gange nulvektoren er lig nulvektoren.

Et eksempel på at gange en vektor med et tal kunne være 2 * →a. Dette bliver så til 2*→a. Grafisk ville dette se ud som at man nu fik 2 * →a i forlængelse af hinanden.

Ved multiplikation af vektorer med tal gælder så den distributive lov. Det betyder at følgende regler gør sig gældende.

s * (t *→a) = t * (s*→a) = (s * t) * →a
s * →a + t * →a = (s + t) * →a
t * →a + t * →b = t * (→a + →b)

Vektorers koordinater

For at kunne tegne en vektor, er det nødvendigt at kende vektorens koordinater. Og for at kunne finde disse, er det nødvendigt at indføre de to basisvektorer →I, som går i x-aksens retning, og →J som går i y-aksens retning. Det specielle ved disse to er så, at de begge har længden 1. Altså →I = 1 og →J = 1.

Når man ved dette kan man splitte en vilkårlig vektor, fx →a, op i to dele. En der hører til x-aksens retning(a1), og en der hører til y-aksens retning(a2). Disse koordinater skrives som →a = a1a2. Altså a1a2= x-værdiy-værdi. Og dette betyder at →a = a1 * →I + a2 * →J.

Et eksempel kunne være at man havde en vektor, fx →a, der gik 4 i x’s retning og 3 i y’s retning. Dette ville så kunne skrives som →a = 4 * →I + 3 * →J = 43 .

Har man så to vektorer, så kan disses koordinater jo naturligvis lægges sammen og trækkes fra hinanden. Ved dette gælder følgende regler:

Addition:

Jeg går ud fra at jeg har følgende to vektorer med dertilhørende koordinater:

→a = a1a2 og →b = b1b2

Disse lægges så sammen ved at addere henholdsvis de to x-værdier og de to y-værdier, hvilket ses herunder:

→a + →b = a1+ b1a2+b2

Subtraktion:

Her trækkes henholdsvis de to x-værdier og de to y-værdier fra hinanden. Altså således:

→a - →b = a1- b1a2-b2

Multiplikation:

Jeg kan så som også vælge at gange en vektors koordinater med et tal. Vil jeg gøre dette skal jeg, som det ses herunder, gange tallet med både x- og y-værdien.

t * →a = t * a1t * a2

Jeg vil så bevise sætningen →a + →b = a1+ b1a2+b2 fra før.

Her starter jeg med at benytte definitionen på vektorers koordinater som hed(→a = a1 * →I + a2 * →J), således at jeg kan omskrive ovenstående sætning. Derved får jeg:

(a1 * →I + a2 * →J) + (b1 * →I + b2 * →J)

Ved så at benytte den associative lov fra tidligere som sagde at (→a + →b) + →c = →a + (→b + →c), samt den kommutative lov som sagde af →a+b = →b+a, så kan jeg omskrive ovenstående til:

(a1 * →I + b1 * →I) + (a2 * →J + b2 * →J)

Så kan jeg så benytte den distributive lov(t * →a + t * →b = t * (→a + →b)), for når jeg kender denne, ved jeg at ovenstående er det samme som:

(a1 + b1) * →I + (a2 + b2) * →J

Dette bliver så, ved at benytte definitionen af en vektors koordinater baglæns, til:

→a + →b = a1+ b1a2+b2

Og sætningen er bevist.

Stedvektorer

En vektor indtegnet i et koordinatsystem, som har sit begyndelsespunkt i punktet (0,0), kaldes for en stedvektor. Altså kan man sige at koordinaterne til en stedvektor svarer til koordinaterne til endepunktet på en sådan vektor.

En stedvektor skrives som →OP, hvor O står for origo, som er et navn for begyndelsespunktet i et koordinatsystem, mens P så står for punktet P som er endepunktet. En stedvektors koordinater skrives så som →OP = p1p2. Dvs. at jeg lader en vektor der hedder →a, så har jeg punktet A, og så kommer stedvektoren til at hedde →OA, og koordinaterne til denne bliver såA1A2. Altså her et punkt og punktets stedvektor samme koordinater.

Skal jeg så beregne koordinaterne til en hvilken som helst vektor, fx vektor →AB , benyttes formlen →AB = x2 - x1y2-y1.

Et eksempel på brugen af denne kunne være at jeg havde de to punkter A = (7,3) og B = (2,4). Jeg finder så denne vektors koordinater således:

→AB = 2-74-3 = -51

Længden af vektorer

Som tidligere nævnt betegnes længden af en vektor som →a. Vil jeg så finde denne længde, så er der to muligheder.

Den første mulighed er hvis vektorens koordinater kendes. Er dette tilfældet benyttes formlen →a = (a1)2+(a2)2, som er udledt af Pythagoras gamle læresætning a2 +b2 = c2.

Et eksempel på brugen af denne kunne være at jeg har en vektor(→a), med koordinaterne34. Jeg kan så beregne længden af denne ved at indsætte tallene i førnævnte formel:

→a = 32+42 = 25 = 5

Den anden mulighed er at begyndelsespunkt og endepunkt til vektoren kendes. Disse punkter kunne man kalde for A og B, og de ville så have koordinaterne A = (a1, a2) B = (b2, b2). I dette tilfælde kan jeg så benytte afstandsformlen der lyder således.

→AB = (b1-a1)2+ (b2-a2)2

Det man så reelt gør med denne formel er, at man finder afstanden mellem de to punkter A og B.

Et eksempel på brugen af den kunne være at jeg har to punkter med dertilhørende koordinater:

A = (2,4) og B = (7,1)

Jeg finder nu længden af vektor AB

→AB = (7-2)2+(1-4)2 = 34 = 5,83

Skalarprodukt(prikprodukt)

Skalarproduktet også kaldet prikproduktet er et begreb der bruges i forbindelse med at finde vinklen mellem to vektorer. For når skalarproduktet samt længden af vektorerne kendes, kan vinklen mellem dem beregnes.

Grunden til at skalarproduktet også kaldes for prikproduktet er, at man i princippet ikke kan gange to vektorer med hinanden, og man er derfor nødt til i stedet at prikke dem med hinanden.

Definitionen på skalarproduktet er som følger: →a ∙ →b = a1 * b1 + a2 * b2

Et eksempel kunne være at jeg har de to vektorer →a = 23 og →b = 41. Disse tal sætter jeg så ind i forskriften og får følgende:

→a ∙ →b = 2 * 4 + 3 * 1 = 11

En ting der i forbindelse med skalarproduktet er vigtigt at vide er, at hvis vinklen mellem de to vektorer er lig 0, så står disse vinkelret på hinanden. Dette skrives således at hvis →a ⊥ →b så er →a ∙ →b = 0.

Man kan også finde vinklen mellem to vektorer ved at benyttes cosinus til vinkel, i så fald benyttes en af nedenstående to metoder:

→a ∙ →b = →a ∙ →b * cos(v) <=> cos(v) = →a ∙ →b →a ∙ →b

Jeg vil så komme med et eksempel på brugen af den sidste. Her arbejder jeg ud fra, at jeg har følgende to vektorer: →a = 23 og →b = 71

Disse sætter jeg så ind i cos(v) = →a ∙ →b →a ∙ →b:

cos(v) = 2*7 + 3*1 22+32*72+12 =

Jeg reducerer og der udregnes:

1713*50 = 0,6668

Jeg benytter så cosinus, således at jeg får resultatet:

v = cos-1(0,6668) = ± 48,18

Når man så har beregnet en vinkel, kan man alene ud fra tallet, bedømme om vinklen er ret eller stump. Her gælder det at:

Hvis →a ∙ →b >0 så er v en spids vinkel: 0° ≤ v < 90°
Hvis →a ∙ →b <0 så er v en stump vinkel: 90° < v ≤ 180°
Hvis →a ∙ →b =0 så er →a ⊥ →b: v = 90°

Nu vil jeg så bevise sætningen →a ∙ →b = →a ∙ →b * cos(v). For at gøre dette, forudsætter jeg at jeg har de to vektorer →a og →b. For så at finde vinklen mellem disse, forudsætter jeg ligeledes at de har de begge har deres begyndelsespunkt i (0,0). Jeg kan så tilføje →c, og jeg har nu en vilkårlig trekant.

Hvis jeg tegnede denne trekant, ville jeg kunne se følgende:

→a = CB = a12+a22

→b = CA = b12+b22

→c = AB = (a1-b1)2+ (a2-b2)2

Som det ses har jeg tre vektorer, som jo så svarer til siderne a, b og c i en trekant. Når jeg ved dette kan jeg benytte cosinusrelationen for en vilkårlig trekant som siger følgende:

c2 = a2 + b2 - 2ab*cos(C)

I denne kan jeg kan så indsætte udtrykkene for længerne af vektorerne.

(a1-b1)2+ (a2-b2)2 = a12+a22+ b12+b22-2→a→b*cos⁡(v)

Jeg kan så udregen de forskellige led:

a1-b1* a1-b1+a2-b2* a2-b2 = a12+a22+ b12+b22-2→a→b*cos⁡(v)

Jeg ganger de to parenteser med hinanden:

a12- a1b1+ b12-a1b1 + a22- a2b2+ b22-a2b2 = a12+a22+ b12+b22-2→a→b*cos⁡(v)

Jeg reducerer:

a12- 2a1b1+ b12 + a22- 2a2b2+ b22 = a12+a22+ b12+b22-2→a→b*cos⁡(v)

Jeg kan nu tillade mig at fjerne a12+a22+ b12+b22 på begge sider:

- 2a1b1- 2a2b2 = -2→a→b*cos⁡(v)

Dette kan jeg så yderligere forkorte ved at dividere med -2 på begge sider:

a1b1+a2b2 = →a→b*cos⁡(v)

Grundet definitionen af skalarproduktet(→a ∙ →b = a1 * b1 + a2 * b2) bliver dette så til:

→a∙→b = →a→b*cos⁡(v)

Og sætningen er nu bevist.

Jeg vil dog også gerne bevise sætningen →a ⊥ →b så er →a ∙ →b = 0, og dette kan jeg gøre ved at benytte ovenstående sætning. For når jeg ved at:

→a∙→b = →a→b*cos⁡(v)

Så må dette nødvendigvis betyde at hvis:

→a ∙ →b = 0

Så bliver

→a→b*cos⁡(v) = 0

Og da både →a og →b er egentlige vektorer, og dermed er defineret som vektorer med en længde, kan disse ikke være nul. Dette betyder så at det må cosinus til v der er lig nul:

cos⁡(v) = 0

Dette betyder så at vinklen må være:

V = ± 90°

Og altså kan det konkluderes at:

→a ⊥ →b

Regneregler for skalarprodukt

Der findes en række regneregler for skalarproduktet, som jeg også lige vil tage med. Disse er kort beskrevet herunder:

Kommutative lov: →a ∙ →b = →b ∙ →a

Her ses at akkurat som at det ingen betydning om man først prikker →a med →b, eller om man gør det omvendt. Dette sker da definitionen på skalarproduktet var →a ∙ →b = a1 * b1 + a2 * b2. Og da koordinaterne til vektorerne jo er almindelige tal(fx →a = a1a2 og →b = b1b2), så er rækkefølgen ligegyldig.

Distributive lov:

Hvis jeg går ud fra at jeg har tre tilfældige vektorer, →a, →b og →c, så gælder det at:

- →a ∙ (→b + →c) = →a ∙ →b + →a ∙ →c

- t * (→a ∙ →b) = (t*→a) ∙→b = (t*→b) ∙ →a

Altså det er lige meget hvor parentesen placeres.

→a ∙ →a = →a2

Altså vektor a prik vektor a er lig længden af vektor a

Vinkelrette vektorer:

Hvis →a ⊥ →b så er →a ∙ →b = 0.

Dette betyder at hvis →a er vinkelret på →b, så er skalarproduktet, altså de to vektorer prikket med hinanden, lig nul.

Parallelle vektorer:

Hvis at →a og →b er parallelle vektorer(dvs. →a ∥ →b), så kan →b skrives som:

→b = →a ∙ →b→a2 * →a

Tværvektor

Hvis vi siger at vi har en vektor der hedder →a, så finder man tværvektoren til denne vektor ved at dreje vektoren 90° i positiv omløbsretning. Positiv omløbsretning vil så sige at man drejer den mod uret, således at vinklen mellem den oprindelige vektor og den drejede vektor er positiv.

En tværvektor skrives som →a^. Altså er tværvektor til →a = →a^. Dette udtales vektor a-hat.

Og ud fra dette kan man så konstatere nogle ting. Nemlig at:

→a^ = →a. Hvilket vil sige at længden af tværkvektor a er lig længden af vektor a.

→a ∙ →a^ = 0. Altså at vektor a prik tværvektor a er lig nul.

Det man så i praksis gør, for at gå fra →a til →a^ er, at man bytter om på x- og y-koordinaten, samt sætter et minus foran x-koordinaten. Dermed kan man konkludere at reglen hedder sig, at hvis →a = a1a2 så er →a^ = -a2a1.

Et eksempel på dette kunne være, at man har en →a med koordinaterne 84. I så fald vil →a^ så blive -48.

Der er så også nogle egenskaber som man gør kende i forhold til en vektor og et tal.

t→a^ = t→a^
→a+→b^ = →a^ + →b^

Vektorprojektioner

Dette handler om at man projicerer en vektor ned på en anden vektor. Dvs. at hvis man har en →a og en →b, så er vektorprojektion den vektor der fremkommer når man tager endepunktet ved →b og nedfælder den vinkelret på →a. Skæringspunktet man så rammer kaldes for P. Og den vektor man får kaldes for →OP, da den begynder i punktet O(punktet hvor både →a og →b begynder), og slutter i punktet P.

Dog behøver man ikke tegne vektorerne for at finde koordinaterne til projektionen. Man kan i stedet blot benytte formlen →b→a = →a ∙ →b→a2 ∙ →a.

Herunder vil jeg komme med et eksempel på brugen af denne.

Jeg har de to vektorer:

→a = 41 →b = -12

Jeg sætter tallene ind i forskriften:

→b→a = 4*-1+1*2(42+12)2 * 41

Jeg reduserer og udregner:

-217 * 41 = -817-217

Og dermed er -817-217 så projektionen af vektor b på vektor a.

Areal af parallelogram

Ved hjælp af tværvektoren og vektorprojektion kan man bestemme arealet af parallelogrammet udspændt af to vektorer.

Hvis man antager at man har →a og →b, så er arealet af parallelogrammet bestemt ved →a^ ∙ →b .

Et eksempel på brugen af dette kunne være, at jeg har de to vektorer →a = 3-4 og →b = 94. Disse tal kan jeg så sætte ind i den førnævnte sætning således:

A(Arealet) = 43 ∙ 94 = 4*9+3*4 = 48

Altså bliver arealet 48.

Opgaver

Opgave 1

I denne opgave skal jeg komme med nogle beviser, og dette er noget som jeg har gjort løbende gennem opgaven.

Opgave 2

En firkant ABCD er bestemt af punkterne A( – 3,– 9), B( 5, 4), C( – 3, 9) og D( – 6, 4).

Beregn vinklerne i firkant ABCD ved hjælp af sætningen

Jeg ved at: →a ∙ →b = →a ∙ →b * cos(v) <=> cos(v) = →a ∙ →b →a ∙ →b

Altså kan sætningen cos(v) = →a ∙ →b →a ∙ →b benyttes.

Ud fra de fire ovenstående punkter kan jeg danne en firkant med de fire vektorer →AB, →BC, →CD og →DA. Det jeg så skal gøre er at finde vinklerne til disse. For at gøre dette benytter jeg formlen x2 - x1y2-y1.

→AB = 5- (-3)4-(-9) = 813

→BC =-3-59-4 = -85

→CD = -6-(-3)4-9 = -3-5

→DA = -3-(-6)-9-4 = 3-13

Nu finder jeg så vinklen mellem →AB og →DA. For at gøre vender jeg →DA om ved at sætte minus foran denne, altså jeg finder -→DA. Dermed får jeg:

813 og -313

Til at finde længden af en vektor benytter jeg formlen →a = (a1)2+(a2)2

813 ∙ -313 (8)2+(13)2 * (-3)2+(13)2 = 8*(-3) +13*13 (8)2+(13)2 * (-3)2+(13)2 = 0,7120

Cos-1(0,7120) = 44,6°

Vinklen mellem →AB og →BC = 813 og -85

Jeg vender →AB om således at den bliver -8-13

Altså -8-13 og -85

-8*-8 +-13*5 (-8)2+(-13)2 * (-8)2+(5)2 = -0,0069

Cos-1(-0,0069) = 90,4°

Vinklen mellem →BC og →CD = -85 og -3-5

Jeg vender →BC om således at den bliver 8-5

Altså 8-5 og -3-5

8*(-3) +-5*(-5) (8)2+(-5)2 * (-3)2+(-5)2 = 0,0182

Cos-1(0,0182) = 89°

Vinklen mellem →CD og →DA = -3-5 og 3-13

Jeg vender →CD om således at den bliver 35

Altså 35 og 3-13

3*3 +5*(-13) (3)2+(5)2 * (3)2+(-13)2 = -0,7198

Cos-1(-0,7198) = 136,04°

Jeg kan så evt. benytte fx GeoGebra til at se om jeg har regnet rigtigt.

Opgave 3

For vektorerne →a og →b gælder det at →a = 10, →b = 5 og →a-→b = 13.

Beregn vinklen mellem →a og →b.

Her kan jeg benytte Pythagoras:

c2 = a2 + b2 - 2*a*b*cos(v)

Derved bliver det:

→a-b2= →a2+ →b2- 2 * →a* →b*cos(v)

Jeg sætter så mine tal ind i denne sætning og får således:

132 = 102 + 52 - 2 * 10 * 5 * cos(v)

Der udregnes:

169 = 100 + 25 - 100 * cos(v)

Der udregnes:

169 = 125 - 100 * cos(v)

Der trækkes 125 fra på begge sider

44 = -100 * cos(v)

Der divideres med -100 på begge sider

-0,44 = cos(v)

cos(v) = -0,44

Jeg benytter så cosinus og får derved vinklen

cos-1(-0,44) = 116,1°

Indledning