Statistik - HHX opgaver og notater

Statistik

$http://www.forskningenshus.dk/userfiles/Statistik.jpg$

Frederik Hovmark Pedersen

Indholdsfortegnelse:

Side 3 - Indledning

Teori for ugrupperede observationer

Side 4 - Teori for ugrupperede observationer

Teori for grupperede observationer

Side 5 - Teori for grupperede observationer

Side 6 - Ugrupperet talmateriale

Tabel
Søjlediagram

Side 7 - Ugrupperet talmateriale

Sumkurve
Deskriptorer

Side 8 - Ugrupperet talmateriale

Deskriptorer
Afsluttende konklusion/sammenligning

Side 9 - Grupperet talmateriale

Tabel
Søjlediagram

Side 10 - Grupperet talmateriale

Sumkurve
Deskriptorer

Side 11 - Grupperet talmateriale

Forsørgerbyrden
Afsluttende konklusion/sammenligning

Indledning

Jeg vil gennem min emneopgave først komme ind omkring den teori, som jeg efterfølgende vil benytte til at arbejde med det talmateriale, der er udleveret med opgavebeskrivelsen. Den første del af teorien vil omhandle ugrupperede observationer, mens den anden del vil omhandle grupperede observationer. Ligeledes vil jeg så først arbejde med talmaterialet for ugrupperede observationer. Jeg vil her arbejde med topscorerlisterne for superligasæsonerne 2010/2011 og 2011/2012. Og herefter vil jeg så arbejde med talmaterialet for grupperede observationer. Hvor jeg vil benytte en statistik for Thisteds befolkningsantal inddelt i aldersgrupper i 2012, samt for hvordan det forventes at fordele sig i 2040.

Gennemgang af den teori der vil blive benyttet i opgaven

Ugrupperede observationer

I første del af opgaven vil jeg arbejde med ugrupperede observationer også kaldet diskrete observationer.

Her vil jeg vil blandt andet benytte en tabel der viser observationer, hyppighed og frekvens samt summeret frekvens.

Observation: det der måles

Hyppighed: det antal gange en bestemt observation fremkommer

Frekvens: hyppighed/antal observationer i alt. Frekvenser kan vises i et histogram(søjlediagram).

Summeret frekvens/kumuleret frekvens: her lægger man frekvenserne sammen en efter en, det vil sige man opsummerer frekvenserne. De summerede frekvenser kan vises som en sumkurve.

Middelværdi: kaldes også xstreg, er den gennemsnitlige observation. Middelværdien kan beregnes på to måder:

Obs.1 * Hypp.1 + Obs.2 * Hypp.2 + osv.antal observationer
Obs.1 * Frek.1 + Obs.2 * Frek.2 + osv.

Varians: når man så har fundet middelværdien, kan man finde variansen, dette gøres ved hjælp af formlen:

S2 = (obs1 - X)^2 * Hyp1 + (obs2 - X)^2 * Hyp2 osv.Antal obs-1

X = x med streg over(xstreg)

Standardafvigelse(spredning): også kaldet spredning, er spredningen af værdierne omkring middelværdien, der er tale om to former for spredning:

Lille spredning, hvis observationerne ligger tæt omkring middelværdien
Stor spredning, hvis observationerne ligger spredt langt fra middelværdien

Formel for afvigelsen til venstre for middelværdien (obs1 - X)2

Formel for afvigelsen til højre for middelværdien (obs2 - X)2

Standardafvigelsen findes ved at tage kvadratroden af variansen:

S = S2 = varians

Kvartilsættet: består af de observationsværdier der svarer til 25%, 50% og 75% af den samlede observation. De aflæses af de summerede frekvenser.

0,25 – fraktil – 1. kvartil – nedre kvartil
0,50 – fraktil – 2. kvartil – medianen
0,75 – fraktil – 3. kvartil – øvre kvartil

I opgaven vil jeg også vise 0,10 fraktil samt 0,90 fraktil, de aflæses på samme måde som kvartilsættet af de summerede frekvenser

0,10 – fraktil: den observationsværdi der svarer til 10% af observationerne

0,90 – fraktil: den observationsværdi der svarer til 90% af observationerne

Kvartilafstand: findes ved at tage 0,75 fraktilen - 0,25 fraktilen

Grupperede observationer

I anden del af opgaven vil jeg så arbejde med grupperede observationer. Ved grupperede observationer arbejder man med mange observationer. Disse inddeles derfor i intervaller. Der findes tre former for intervaller:

Lukket interval, fx [2;5], tallene i dette interval går altså fra og med 2 til og med 5.
Åbent interval, fx ]2;5[, her er hverken 2 eller 5 med, hvilket vil sige at alle tal over 2 til og med 4,999… er med.
Halvåben interval, [2;5[ her er 2 med, mens 5 ikke er med

Jeg vil så igen bruge en tabel der viser observationer, hyppighed, frekvens samt summeret frekvens, disse beregnes som ved ugrupperede observationer.

Typeinterval: ved typeinterval forstås det interval med den største hyppighed, hvilket vil sige det interval der fremkommer flest gange.

Middelværdi: her finder man midtpunkterne for samtlige observationer, og så lyder formlen:

Midtpunkt1 * hypp.1 + midtpunkt2 * hypp.2 + osv.antal observationer

Varians: når man så har fundet middelværdien, kan man jo finde variansen, dette gøres ved hjælp af formlen:

S2 = (midtpunkt1 – xstreg)^2 * hypp.1 + (midtpunkt2 – xstreg)^2 * hypp.2 + osv. antal observationer - 1

Standardafvigelse(spredning): når variansen så er fundet, kan man til sidst finde standardafvigelsen, spredningen, dette gøres ved at tage kvadratroden af variansen, som ved ugrupperede observationer:

S = S2 = varians

Kvartilsættet: findes ved at aflæse sumkurven som ved ugrupperede observationer.

Sumkurve: her benytter man de kumulerede frekvenser samt de højre intervalvendepunkter, som kurven så laves ud fra.

Højre intervalvendepunkter, har man et interval der hedder ]15;20], vil det højre intervalvendepunkt være 20.

Så vil jeg også udregne forsørgerbyrden, som er størrelsen på den del af befolkningen der er i alderen 0-15 samt 65-95+, og derved skal forsørges. Det gør jeg ved, at tage summen af de frekvenserne for de intervalgrupper der skal forsørges, så får jeg et decimaltal som blot skal ganges med 100.

Ugrupperet talmateriale

Tabel der er udarbejdet efter tal for samtlige af superligaens målscorere i sæsonener 2010/2011 og 2011/2012. Tabellen viser antal observationer, der i dette tilfælde er antal mål en spiller kan have scoret, den viser hyppighed, der i dette tilfælde er antal spillere der har scoret det antal mål som den enkelte observation fortæller, og så viser den også frekvens samt summeret frekvens.

2010/2011				2011/2012
Obs.	Hypp.	Frek.	Sum. Frek.	Obs.	Hypp.	Frek.	Sum. Frek.
1	59	0,37	0,37	1	54	0,34	0,34
2	26	0,16	0,54	2	36	0,23	0,57
3	19	0,12	0,66	3	16	0,10	0,67
4	20	0,13	0,78	4	11	0,07	0,74
5	8	0,05	0,84	5	12	0,08	0,81
6	8	0,05	0,89	6	4	0,03	0,84
7	7	0,04	0,93	7	8	0,05	0,89
8	3	0,02	0,95	8	8	0,05	0,94
9	2	0,01	0,96	9	4	0,03	0,96
10	0	0,00	0,96	10	2	0,01	0,97
11	0	0,00	0,96	11	1	0,01	0,98
12	3	0,02	0,98	12	0	0,00	0,98
13	0	0,00	0,98	13	1	0,01	0,99
14	1	0,01	0,99	14	1	0,01	0,99
17	1	0,01	0,99	17	0	0,00	0,99
18	0	0,00	0,99	18	1	0,01	1,00
25	1	0,01	1,00	25	0	0,00	1,00
I alt	158		1,00		159		1,00

Pindediagram der viser frekvenserne for scorede mål i sæsonerne 2010/2011 og 2011/2012.

Sumkurve der viser de summerede frekvenser for scorede mål i sæsonenerne 2010/2011 og 2011/2012.

Deskriptorer for tallene for sæson 2010/2011

Middeltallet = 3,28 Det antal mål som spillerne på 2010/2011 listen i gennemsnit har scoret.

Kvartilsættet:

0,25 fraktil = 1 Det antal mål som 25% af spillerne eller derunder har scoret.

0,50 fraktil = 2 Det antal mål som 50% af spillerne eller derunder har scoret.

0,75 fraktil = 4 Det antal mål som 75% af spillerne eller derunder har scoret.

0,10 og 0,90 fraktil:

0,10 fraktil = 1 Det antal mål som 10% af spillerne eller derunder har scoret.

0,90 fraktil = 7 Det antal mål som 90% af spillerne eller derunder har scoret.

Deskriptorer for tallene for sæson 2011/2012

Middeltallet = 3,36 Det antal mål som spillerne på 2011/2012 listen i gennemsnit har scoret.

Kvartilsættet:

0,25 fraktil = 1 Det antal mål som 25% af spillerne eller derunder har scoret.

0,50 fraktil = 2 Det antal mål som 50% af spillerne eller derunder har scoret.

0,75 fraktil = 5 Det antal mål som 75% af spillerne eller derunder har scoret.

0,10 og 0,90 fraktil:

0,10 fraktil = 1 Det antal mål som 10% af spillerne eller derunder har scoret.

0,90 fraktil = 8 Det antal mål som 90% af spillerne eller derunder har scoret.

Sammenligning af de sæsoner

Skal man sammenligne de to sæsoner, kan man se at der samlet set blev scoret 1 mål mere i sæsonen 2011/2012 end der gjorde den forgange sæson 2010/2011. Der blev nemlig scoret 159 mål i alt i 2011/2012 sæsonen, mens der ”kun” blev scoret 158 mål i 2010/2011 sæsonen. Det gennemsnitlige antal mål pr. scorende spiller er derfor også højest i 2011/2012 sæsonen, hvor den er på 3,36 mål pr. spiller i forhold til i 2010/2011 sæsonen hvor den er på 3,28. Altså 0,06 mål mindre pr. scorende spiller.

Dog scorede topscoreren i 2010/2011 sæsonen 25 mål i alt, hvilket er syv mål mere end topscoreren i 2011/2012 sæsonen, hvor topscoreren kun formåede at score 18 mål i alt.

Grupperet talmateriale

Tabel der viser observationer, hyppigheder, frekvenser og summerede frekvenser for tallene for Thisteds befolkning fordelt på aldersgrupper i 2012 og 2040. Observationerne er her alder i intervaller, mens hyppighed er det antal personer der befinder sig i det enkelte interval.

2012				2040
Obs.	Hypp.	Frek.	Sum. Frek.	Obs.	Hypp.	Frek.	Sum. Frek.
[0;5]	2361	0,05	0,05	[0;5]	2233	0,05	0,05
]5;10]	2652	0,06	0,11	]5;10]	2431	0,06	0,11
]10;15]	2809	0,06	0,17	]10;15]	2571	0,06	0,17
]15;20]	3299	0,07	0,25	]15;20]	2566	0,06	0,23
]20;25]	2141	0,05	0,30	]20;25]	1570	0,04	0,26
]25;30]	1860	0,04	0,34	]25;30]	1733	0,04	0,31
]30;35]	2174	0,05	0,39	]30;35]	2152	0,05	0,36
]35;40]	2577	0,06	0,44	]35;40]	2303	0,05	0,41
]40;45]	2939	0,07	0,51	]40;45]	2506	0,06	0,47
]45;50]	3357	0,07	0,58	]45;50]	2629	0,06	0,53
]50;55]	3381	0,08	0,66	]50;55]	2413	0,06	0,58
]55;60]	3327	0,07	0,73	]55;60]	2222	0,05	0,64
]60;65]	3269	0,07	0,80	]60;65]	2576	0,06	0,70
]65;70]	2981	0,07	0,87	]65;70]	2686	0,06	0,76
]70;75]	2048	0,05	0,92	]70;75]	2973	0,07	0,83
]75;80]	1542	0,03	0,95	]75;80]	2717	0,06	0,89
]80;85]	1118	0,02	0,98	]80;85]	2190	0,05	0,94
]85;90]	694	0,02	0,99	]85;90]	1491	0,03	0,98
]90;95]	309	0,01	1,00	]90;95]	745	0,02	0,99
]95;∞]	70	0,00	1,00	]95;∞]	224	0,01	1,00
I alt	44908		1,00	I alt	42938		1,00

Pindediagram der viser fordelingen af befolkningstallet i de forskellige aldersgrupper.

Sumkurve der viser fordelingen af befolkningens alder som summerede frekvenser.

Deskriptorer for tallene fra 2012

Middeltal = 42,32 Viser den alder som Thisted befolkning i gennemsnit havde i år 2012.

Kvartilsæt:

0,25 fraktil = 20 Det vil sige at 25% af Thisteds befolkning er 20 år eller derunder.

0,50 fraktil = 45 Det vil sige at 50% af Thisteds befolkning er 45 år eller derunder.

0,75 fraktil = 60 Det vil sige at 75% af Thisteds befolkning er 60 år eller derunder.

Deskriptorer for tallene fra 2040

Middeltal = 46,49 Viser den alder som Thisted befolkning i gennemsnit formodes at have i 2040.

Kvartilsæt:

0,25 fraktil = 20 Det vil sige at 25% af Thisteds befolkning vil være 20 år eller derunder.

0,50 fraktil = 50 Det vil sige at 50% af Thisteds befolkning vil være 50 år eller derunder.

0,75 fraktil = 70 Det vil sige at 75% af Thisteds befolkning vil være 70 år eller derunder.

Forsørgerbyrden i år 2012 og 2040:

Forsørgerbyrden i 2012 = 37%

Forsørgerbyrden i 2040 = 47%

Sammenligning af Thisteds befolkning i år 2012 og 2040.

Helt generelt så formodes det, at der i år 2040 er 1970 personer mindre i Thisted. Og sammenligner man hyppighederne, kan man se at der for det første vil være mindre børn i aldersgruppen 0-15 år. Men det helt store spring kommer i aldersgruppen 15-25 år, hvor der forventes at være 1304 personer mindre. Så det vil altså sige, at især de unge i stor grad flytter væk fra byen, hvilket selvfølgelig er et stort problem. Og desværre er det en tendens der fortsætter helt indtil vi nå aldersgruppen 70 år og op. For fra alderen 70 år og op, forventes det at befolkningen vil stige med hele 4559. Det vil sige, at den del af befolkningen der skal forsørges stiger markant, hvilket er en dårlig udvikling, da det jo sker samtidig med, at den del af befolkningen der skal forsørge dem falder. Udviklingen kan forklares ved, at aldersgrupperne 35-65 vælger at blive boende i Thisted resten af deres liv, og derfor vil der om 32 år være mange ældre. Mens deres børn og børnebørn i stor grad flytter væk fra byen. Og der bliver derfor mindre folk i de aldersgrupper der er på arbejdsmarkedet.