Lineære funktioner

Emneopgave Lineære Funktioner

 

Af Frederik Hovmark​​ Pedersen, T12

 

 

 

Indhold

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indledning

Igennem denne emneopgave vil jeg​​ hovedsageligt koncentrere mig om teorien omkring lineære funktioner.​​ Jeg vil komme ind på noget generelt om lineære funktioner, nulpunkter, definitions- og værdimængde, monotoniforhold, løsning af ligninger,​​ løsning af ligninger med brøker samt løsninger af uligheder og dobbelt uligheder, jeg vil fortælle hvordan man finder skæringspunktet mellem to linjer og hvordan man bestemmer en lineær funktion ud fra to punkter. Undervejs vil jeg komme med en del eksempler på hvordan teorien bruges,​​ det vil jeg både gøre via udregninger​​ samt grafisk.​​ Og som afslutning vil jeg benytte teorien til at løse en række opgaver.

Teori om lineære funktioner

Den generelle forskrift for lineære funktioner

Forskriften for en lineær funktion: y= f(x) = ax + b

Her er a hældningskoefficienten, også kaldet hældningstal og stigningstal, hvilket vil sige at den fortæller hvor meget linjen hælder, om den er positiv eller negativ osv. Og​​ b er​​ ​​ skæring med y-aksen.​​ 

En funktion​​ 

Ved en funktion​​ svarer en bestemt x-værdi kun til en bestemt y-værdi, og det er derfor en funktion. For eksempel kan vi have en funktion der hedder ​​ y=1x, denne funktion skærer y-aksen, og her svarer en bestemt x-værdi kun til én y-værdi, dvs. at når x = 8, så er der kun en y-værdi der kan passe til den.​​ 

Ikke en funktion

Er der så mere end en y-værdi der svarer til​​ en bestemt​​ x-værdi, er det ikke en funktion. Et eksempel er en funktion der hedder​​ x=10, den skærer ikke y-aksen,​​ da det jo er en lodret streg der går igennem x-værdien 10, og x-værdien 10 svarer til uendeligt mange y-værdier.

Nulpunkter

Et​​ nulpunkt er den​​ x-værdi hvor y =​​ f(x) = 0, hvilket vil sige at det er skæringspunktet med x-aksen. ​​ Et eksempel er:​​ 

WordMat|1.02|||||-40,40889|7,440002|||4x + 100|x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1|||||||||||||||||||False|False|1,2|1,2|||True|False|False|True|

y​​ = f(x) = 4x + 100

Nulpunkt: y = f(x) = 0​​ 

dvs. 4x + 100 = 0​​ 

4x = -100

x​​ = -25 = nulpunktet

 

Indtegning af grafen for en lineær funktion

En lineær funktion indtegnes ved at tage udgangspunkt i skæringen med y-aksen(b). Fra dette punkt går man så en ud af x-aksen, og alt efter hvad a er, går man så et hvis antal op eller ned.

Et eksempel kan være y = 3x + 8. Her starter man ved punktet (0,8), hvilket vil sige ved 8 på y aksen. Herefter går man så en ud af x-aksen, og tre op ad y aksen, her får man så et punkt der hedder (1,11), og man vil nu være i stand til at indtegne en linje for den lineære funktion. Fortsætter man fra punktet (1,11), og går en ud af x-aksen samt tre op ad y-aksen, kommer man til punktet (2,14) som så vil ligge på ens linje.

Tager man udgangspunkt i en anden lineær funktion​​ der kunne hedde:​​ y = -7x - 2,​​ ​​ vil man skulle starte i minus 2 på y aksen(altså punktet(0,-2)),​​ hvorefter man går en ud af x-aksen, samt syv ned ad y-aksen, man kommer nu til punktet (1,-9), og kan tegne linjen.​​ 

De​​ to linjer vil se sådan​​ ud:

WordMat|1.02|||||-5|5|||3x+8|x|||-1|-7x-2|x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1|||||||||||||||||||False|False|1,2|1,2|||True|False|False|True| ​​​​ ​​ 

Eksempler​​ på lineære​​ funktioner​​ man kan​​ støde på i hverdagen​​ 

Et eksempel er taxakørsel, hvor​​ man ved hjælp af​​ en lineær funktion​​ kan beregne prisen,​​ når der fx​​ er et startgebyr på 40 kr. og derefter en pris på 10 kr. pr. km.

Forskrift: y = f(x) = 10x+40

Her er y så den samlede pris for taxaturen, og x er antal kørte kilometer.

Dvs. at kører man 15 km, så bliver prisen:​​ y =​​ 10 * 15 + 40 = 190​​ kr.

Et andet eksempel er løn efter antal arbejdstimer. Her siger vi så at du får 65 kr. i timen.​​ X er så antal timer, og y er lønnen i kr.​​ ​​ 

Forskrift: y = f(x) =​​ 65x

Dvs. arbejder du 17 timer, så bliver lønnen:​​ y =​​ 65 *​​ 17 = 1105​​ kr.​​ ​​ ​​ 

Definitionsmængde

Definitionsmængden er det som x kan være. Tager vi udgangspunkt i eksemplet med taxakørsel, så kan x(som var antal kørte km) være alt fra 0 til uendeligt. Det vil sige at definitionsmængden bliver:​​ 

Dm(f) = [0;] eller x​​ >​​ 0

Værdimængde

Værdimængden er så alt det​​ som​​ y kan være. ​​ Det vil sige at y i eksemplet med taxakørsel(hvor y var prisen i kr.),​​ kan være alt fra 40 kr. som var startgebyret, til uendeligt. Derfor bliver værdimængden:

Vm(f) = [40;] eller y​​ >​​ 40

Monotoniforhold​​ 

Monotoniforholdene fortæller om grafen er​​ voksende eller aftagende.​​ Hvis a​​ er større end 0(a > 0), så er grafen voksende, er a mindre end 0(a < 0), så er grafen faldene, og hvis a er lig med 0(a = 0), så er grafen konstant(vandret).​​ 

Eksempler:​​ 

y = f(x) = 3x - 5, her er a større end 0, altså er grafen voksende.

y = f(x)​​ = -2x - 3, her er a mindre end 0, altså er grafen faldene.

WordMat|1.02|||||-5|5|||3x - 5|x|||-1|-2x-3|x|||-1|8|x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1|||||||||||||||||||False|False|1,2|1,2|||True|False|False|True|

y​​ = f(x) = 8, her har vi blot b som er skæring med y aksen, men intet a, dvs. at a er lig 0, og grafen er derfor konstant.

Eksemplerne kan ses i grafen til højre:​​ 

 

 

 

 

 

At bestemme​​ en lineær​​ funktion​​ ud fra to fra punkter

Skal man bestemme forskriften for en ligning på baggrund af to punkter​​ (x1, y1) og (x2, y2),​​ benyttes​​ først​​ formlen​​ y2-y1x2-x1, med denne formel finder man stigningstallet(a).​​ Skæringen med y-aksen(b) findes så ved at indsætte y1,​​ x1​​ samt a​​ i formlen:​​ b = y1 - a *​​ x1.​​ Eller ved at indsætte y1, x1 samt a​​ i formlen​​ y = a * x + b, hvorefter b så isoleres.​​ ​​ ​​ 

Løsning af ligninger

Ved begrebet ligning forstås et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn samt en eller flere ubekendte.​​ Regler for løsning af ligninger:​​ 

  • Gange med det samme på begge sider(undtagen 0)

  • Dividere med det samme på begge sider(undtagen 0)

  • Lægge det samme til på begge sider

  • Trække det samme fra på begge sider

En simpel ligning kunne være 5x - 8 = -7x +20, denne løses således:

5x - 8 = -7x + 20​​  Jeg lægger så + 7x til på begge sider og får

12x - 8 = 20  Jeg lægger så +8 til på begge sider og får

12x = 28  Jeg dividerer så med 12 på begge sider og får

x = 2,33

Løsning af ligninger med brøker

Ved løsning af ligninger med brøker findes der to metoder. Metode et går ud på, at man først finder fælles nævneren for de to brøker, herefter ganger man med fællesnævneren på begge sider, nu har man så en ”normal” ligning, og så er det bare at forkorte og reducere som ved løsning af ligninger.​​ 

Et eksempel på metode 1:

5x+63​​ =​​ 8+5x6​​ 

Fælles nævner = 6

​​ =​​ ​​ 

2 * (5x+6) = 8 + 5x

10x + 12 = 8 + 5x

5x + 12 = 8

5x = -4

x​​ =​​ -45

Ved metode to finder man også først fællesnævneren, hvorefter man forlænger brøkerne, herefter ganger man så med fællesnævneren på begge sider, og man har så en ligning som man kan forkorte og reducere.

Et eksempel på metode 2:

5x+63​​ =​​ 8+5x6

2*(5x+6)3*2​​ =​​ 8+5x6

2*(5x+6)6​​ =​​ 8+5x6

6*2*(5x+6)6*6​​ =​​ 6*(8+5x)6*6

2*(5x+6) = 8 + 5x

10x + 12 = 8 + 5x

5x + 12 = 8

5x = -4

x =​​ -45

At finde​​ skæringspunktet mellem to linjer

Skal man finde skæringspunktet mellem to linjer som kunne hedde​​ y =​​ 4x-8 og​​ y =​​ -2x+5, så starter man med at finde x værdien til punktet. Det gøres ved at sætte de​​ to punkter​​ overfor hinanden,​​ og​​ reducere/løse det som en ligning​​ hvor x kommer til at stå alene:

4x - 8 = -2x + 5

6x = 13

x = 2,16(x-værdien til skæringspunktet)

Herefter sættes 2,16 så ind i funktionen y = 4x - 8,​​ hvorefter der​​ reduceres:

y = 4*2,16 - 8

y = 8,64 - 8​​ 

y = 0,64

Det vil så sige at punktet kommer til at hedde (2,16,0,64).

For at tjekke om y er rigtig kan man også indsætte 2,16 i funktionen​​ y = -2x+5, og derefter reducere.

WordMat|1.02|||||-6|6|-6|6|4x-8|x|||-1|-2x+5|x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1|||||||||||||||||||False|False|1,2|1,2|||True|False|False|True|

Man kan dog også finde punktet grafisk ved at indtegne de to linjer, og så se hvor de skærer hinanden:

​​ 

 

 

 

 

 

Antal skæringspunkter

Der findes tre muligheder for antallet af skæringspunkter mellem to linjer:

  • Linjerne krydser hinanden, og der er en x-værdi til skæringspunktet.

  • Graferne ligger parallelt, og der er derfor ingen x-værdier til skæringspunktet.

  • Graferne ligger oven på hinanden(linjerne er​​ sammenfaldne), og der er derfor uendeligt mange x-værdier​​ til skæringspunktet, da alle x-værdier på linjen er løsninger.

Løsning af​​ uligheder

Ved løsning af uligheder​​ ​​ gælder samme regler som ved løsning af ligninger undtagen, hvis​​ man ganger​​ eller dividerer​​ med​​ et​​ negativt tal,​​ så vendes ulighedstegnet.​​ Uligheder​​ kan have tegnene​​ >, <,​​ >​​ og​​ <.

Et eksempel på en ulighed​​ af 1. grad​​ er​​ 5x - 3​​ >​​ 2x + 4, denne ulighed løses på følgende måde:

5x - 3​​ >​​ 2x + 4

3x - 3​​ >​​ +4

3x​​ >​​ 7

x​​ >​​ 2,33

Dette indsættes så i et interval som er lig​​ L(løsningsmængden)

L =​​ [2,33;∞[dette betyder at L går fra og med 2,33 til uendeligt

 

Uligheden kan også indtegnes grafisk:​​ 

5x - 3​​ >​​ 2x + 4

Venstre side: f(x) = 5x - 3

Højresiden: g(x) = 2x + 4

Dvs.​​ at​​ grafen(når de indtegnes grafisk) for f(x) skal ligge over/skære grafen for g(x)

x​​ >​​ 2,33 eller L = [2,33;∞[

Dobbelt uligheder

Et eksempel på en dobbelt ulighed er 2x - 2 < x + 3 < x + 1. Som det ses så er der nu kommet et ulighedstegn mere på,​​ og den skal derfor løses anderledes end ved uligheder af 1. grad.​​ Løsningen opdeles i tre dele,​​ de to første dele er beregninger, mens den tredje er resultatet. Et eksempel er:

x​​ + 1 < 2 - x​​ <​​ 2x + 4

  • x​​ + 1 < 2 - x

2x + 1 < 2

2x < 1

x​​ < 0,5

L1 = ]-∞;0,5[

  • 2 - x​​ <​​ 2x + 4

2 - 3x​​ <​​ 4​​ 

-3x​​ <​​ 2

x​​ >​​ -0,66

L2 = [-0,66;∞[

  • L = L1∩L2 = [-0,66;0,5[

 

∩ = fællesmængden(altså det L1 og L2 har tilfældes)

WordMat|1.02|||||-5|5|||x+1|x|||-1|2-x|x|||-1|2x+4|x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1|||||||||||||||||||False|False|1,2|1,2|||True|False|False|True|

Dobbelt uligheder kan selvfølgelig også indtegnes grafisk, dette gøres således:

x + 1 < 2 - x​​ <​​ 2x + 4

Venstresiden:f(x) = x + 1

Midten:​​  g(x) = 2 - x

Højresiden:h(x) = 2x + 4

Dvs. f(x) < g(x)​​ <​​ h(x)

x​​ - værdier til skæringspunkter x = -0,66 og x = 0,5​​ 

Dvs. L = [-0,66;0,5[​​ 

Opgaver​​ 

 

  • Forskrift​​ der beskriver​​ sammenhængen mellem​​ elforbrug og eludgift pr. år​​ for familien Piversen.

y​​ = f(x)​​ = 1,73x + 650

 

  • Familiens eludgift​​ ved et forbrug på 3400​​ kWh​​ 

3400 kWh * 1,73 + 650 =​​ 6532 kr.​​ 

 

  • Udgiften ved et forbrug på 8000 KWh

8000 kWh * 1,73 + 650​​ = 14490 kr.

 

  • Elforbrugets størrelse når man betaler 8000 kr. om året

(8000 - 650) / 1,73 = 4248,55

 

  • Forskriften for prisen på el hos NETTOel

y = f(x) = 1,62x + 1200

  • Eludgiften ved et forbrug på 3400 kWh

1,62 * 3400​​ kWh​​ + 1200 = 6708​​ kr. ​​​​  ​​​​ ​​ ​​ 

 

  • Eludgiften ved et forbrug på 8000 KWh

1,62 * 8000 kWh + 1200 = 14160 kr.

 

  • Elforbruget i de to elselskaber​​ når​​ eludgiften er den samme

Beregning:

1,73x + 650 = 1,62x + 1200

0,11x = 550

x = 5000​​ kWh

Det vil sige at ved et forbrug på 5000 kWh, er prisen den samme ved begge elselskaber

Grafisk:​​ 

WordMat|1.02|||||1010,707|8099,809|||1,73x+650|x|||-1|1,62x+1200|x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1||x|||-1|||||||||||||||||||False|False|1,2|1,2|||True|False|False|True|

 

 

 

 

 

  • Som det kan ses af grafen ovenover, så er NETTOel billigst, så snart​​ forbruget overstiger​​ 5000 kWh.​​ Dette kan også beregnes ved en ulighed.​​ 

1,73x + 650 > 1,62x + 1200

0,11x > 550

x​​ > 5000