Integralregning
Frederik Hovmark Pedersen
Indholdsfortegnelse
Ubestemte integraler - Stamfunktioner 2
Integration af potensfunktioner 3
Regneregel 1 - Integration af sum og differens 3
Regneregel 2 - Integration ved multiplikation med en konstant 4
Regneregel 3 - Partiel Integration 5
Regneregel 4 - Integration ved substitution 6
Opgave til numerisk integration 11
Regneregler for bestemte integraler 13
Regel 1 - Integration af sum og differens 13
Regel 2 - Integration ved multiplikation med en konstant 14
Regel 3 - Indskudssætningen/Indskudsreglen 15
Regel 4 - Substitution i bestemte integraler 15
Indledning
I denne opgave vil jeg gennemgå emnet integralregning. Opgaven vil jeg gribe an således, at jeg vil gennemgå en lang række teori for emnet, samtidig med at jeg kommer med eksempler på brugen af denne. Jeg vil så ført gennemgå emnet ubestemte integraler og dernæst bestemte integraler. I lighed med opgaveformuleringen vil jeg således undervejs komme omkring emnet stamfunktioner, jeg vil se på emnet numerisk integration og jeg vil også komme omkring arealbestemmelse. Desuden vil jeg undervejs løse de i opgaveformuleringen givne opgaver. En stor del af opgaverne vil dog blot indgå som en del af teorien.
Ubestemte integraler - Stamfunktioner
En stamfunktion, også benævnt som det ubestemte integral, kan defineres som funktionen F(x) integreret af funktionen f(x). I forbindelse hermed, er det vigtigt at have styr på differentiation, hvilket vi tidligere har defineret som det at finde f’(x) af f(x). Integration er nemlig det omvendte af differentiation. Når vi ved dette, ved vi også, at vi kan tjekke om en stamfunktion er korrekt, ved at differentiere stamfunktionen, og herefter skulle vi så gerne nå frem til den oprindelige funktion. Altså F’(x) = f(x). Dette kaldes for integrationsprøven. Som yderligere notits kan det nævnes, at stamfunktioner benævnes med store bogstaver. Vi kan illustrere alt dette således:
Da en funktion kan have flere stamfunktioner, tilføjes en konstant til en stamfunktion F. Derved kan vi definere alle stamfunktioner til f som:
Altså består det ubestemte i, at der indgår en ubestemt konstant i forskriften.
Et eksempel på at finde en stamfunktion kunne være, at vi har funktionen f(x) = 2x. Stamfunktionen til denne bliver så x2, da x2’ giver 2x. Altså:
Der findes en række funktioner, hvis stamfunktion det er en fordel at have styr på.
ex = ex
cos(x) = sin(x)
sin(x) = -cos(x)
x0,5 =
ln(x) = x*ln(x) - x
Integration af potensfunktioner
Ved integration af potensfunktioner lyder den generelle formel for en stamfunktion til xn således, hvis n er forskellig fra -1:
Og hvis n er lig 1:
Regneregler
Når vi taler integration, så er der en del regler der er vigtige at have styr på. Disse vil jeg nu gennemgå.
Regneregel 1 - Integration af sum og differens
For integration af sum og differens, dvs. henholdsvis at lægge stamfunktioner sammen samt at trække dem fra hinanden, gælder følgende:
Bevis
Vi kan bevise den første af de to ovenstående regler ved, at hvis vi differentierer alt det der står på højre side, så skulle det gerne give f(x) + g(x):
Til at gøre dette skal vi benytte reglen for at tage mærke af to funktioner lagt sammen, der lød (f + g)' = f' + g', altså kan vi gøre følgende:
Derfor kan jeg konkludere at:
=
= f(x) + g(x)
Integration af differens kan bevises på samme måde.
Eksempel
Et eksempel på brugen af dette kunne være, at vi har henholdsvis x3, x7 og cos(x). Disse lægges så sammen således:
=
=
Regneregel 2 - Integration ved multiplikation med en konstant
Vi vil nu se på reglen integratin ved multiplikation med en konstant, altså at gange en stamfunk-tion med en konstant. Reglen for dette lyder således:
Bevis
For at bevise denne skal vi igen bevise, at hvis højresiden differentieres, så giver det venstresiden. Vi starter ud med at have:
Nu skal vi så benytte regnereglen (k*f)' = k*f'. Et eksempel på brugen af denne kunne være (7x2)' = 7*2x. Altså ses det, at man beholder konstanten, og tager mærke af resten. Dermed kan vi konklu-dere følgende:
Regneregel 3 - Partiel Integration
Den tredje regler omhandler partiel Integration, også kaldet delvis integration, og lyder således:
Bemærk at G er en stamfunktion til lille g.
Bevis
Nok engang skal vi bevise, at hvis højresiden differentieres, så giver det venstresiden. Til at gøre dette benytter vi reglen der siger, at hvis man differentierer to ting med minus imellem, så differentierer man først den ene, og så den anden, og minusser de to med hinanden, dvs.:
Herefter benytter vi reglen (f*g)' = f' * g + f * g', og vi får så:
f'(x) * G(x) + f(x) * g(x) - f'(x)*G(x)
Og da det ses, at det første led og det sidste led kan gå ud med hinanden, ender vi ud med følgende:
f(x) * g(x)
Regneregel 4 - Integration ved substitution
Vi vil nu se på Integration ved substitution. Dette benyttes til at bestemme stamfunktionen til en sammensat funktion. Hvis vi forudsætter, at vi har en sammensat funktion af formen f(g(x))*g’(x), så lyder formlen for integration ved substitution som følger:
Det ses at vi har introduceret en ny variabel, nemlig t, som er lig g(x).
Vi kan dog imidlertid skrive ovenstående formel på en anden måde, ved at introducere den særlige skrivemåde
Eksempel
Jeg vil så lige tage et eksempel på brugen af ovenstående. Vi antager at vi har følgende sammensat funktion.
Vi sætter så t lig 8x.
t = 8x
Nu benytter vi så
Nu ganges der med dx på begge sider, for at få dt til at stå alene. Årsagen er, at vi i næste linje skal ende ud med at få dx til at stå alene.
dt = 8 * dx
Og der kan så divideres med 8 på begge sider for at få dx til at stå alene.
Vi kan nu erstatte 8x med t og dx med
Og grundet reglen
Vi sætter nu igen 8x og dx ind på deres plads og finder stamfunktionen.
= -
Bestemmelse af konstanten c
Som nævnt tidligere så er c en vilkårlig konstant. Så for at fastlægge stamfunktionen entydigt, er det nødvendigt at fastlægge konstanten c. Konstanten c kan så bestemmes ved at forudsætte, at grafen for en stamfunktion går i gennem et bestemt punkt. Dette punkt sættes så ind i stamfunktionen, og c kan isoleres. Et eksempel på dette kunne være at vi har en stamfunktion til f(x) = 4x, som går gennem punktet (3,21). Først finder vi så stamfunktionen til 4x:
Hernæst kan punktet (3,21) indsættes heri:
2*32 + c = 21
Nu løses ligningen
18 + c = 21
Og slutteligt minusses der med 18 på begge sider, således at c kommer til at stå alene:
c = 3
Og altså har vi fundet konstanten c.
Opgaver til stamfunktioner
Bestem
Jeg vil først løse
t = x2
Denne differentieres nu, og således finder vi
Nu kan der så ganges med dx samt divideres med 2x på begge sider for, for derved at få dx til at stå alene.
Nu sættet vi så t samt det nye udtryk for dx ind i integralet.
Nu kan vi så reducere samt udføre integrationen.
Og som det sidste kan vi så substituere den indre funktion tilbage på t’s plads.
Nu når vi så til
Numerisk integration
Ved bestemte integraler kan numerisk integration benyttes til tilnærmelsesvist at bestemme arealet mellem en funktion og x-aksen, dette er illustreret herunder:
Som det fremgår af illustrationen, så starter man med at inddele x-aksen mellem a og b op i op i n stykker. Jo flere stykker jo mere præcist bliver det resultat man ender ud med. Første rektangel har så en højde på f(x0) og en bredde på Δx. Dvs. at arealet af den er lig: f(x0) * Δx. Intervalværdien kan skrives som:
Δx =
Vi når nu til begreberne venstresum og højresum. Forskellen på disse er, at venstresum starter i venstre side, og højresum starter i højre side. Dette er ligeledes illustreret i billedet herover. I forhold til forholdet mellem disse kan det nævnes, at hvis funktionen er voksende vil venstre-summen være lavere end det egentlige areal, mens højresummen vil være større. Og hvis grafen er aftagende vil venstresummen være større end det egentlige areal, mens højresummen vil være lavere.
For at finde arealet beregnes først venstresummen. Dette findes ved at sige: f(x0)*Δx + f(x1)pΔx…+f(xn-1)Δx, hvilket også kan skrives som
Dernæst findes højresummen ved at sige: Hn = f(x1)*Δx + f(x2)*Δx … + f(xn)*Δx, eller
For så at finde arealet tager vi gennemsnittet af højre- og venstresummen, hvilket defineres som trapezsummen:
Trapezsum: Tn =
Desuden gælder følgende formel for Hn - Vn:
Eksempel på arealbestemmelse ved numerisk integration
Som eksempel på dette tager vi udgangspunkt i funktionen f(x) = x2 i intervallet [0,2]. Man kan så finde løsningen til ovenstående via Maple ved at skrive følgende:
Nu kan vi så lave venstresum.
Og vi kan lave højresum.
Og til sidst finder vi så trapezsummen.
Opgave til numerisk integration
Bestem et passende antal venstre og højresummer for funktionen i intervallet [0,4]. Hvor stor skal n være for at arealet er bestemt med en usikkerhed på 0,001? Beregn den eksakte værdi af arealet ved hjælp af bestemte integraler.
Her vælger jeg at benytte Maple, og bruger samme fremgangsmåde som ved ovenstående eksempel. Det vil sige at jeg først indtaster nedenstående.
Dernæst finder jeg venstresum.
Så finder jeg højresum.
Jeg finder trapezsummen.
Og slutteligt benytter jeg så formlen
Bestemte integraler
Tidligere har jeg nævnt begrebet ubestemte integraler. Vi har imidlertid også begrebet bestemte integraler. Kort fortalt så er forskellen på de to, at man ved ubestemte integraler finder en stamfunktion, mens man ved bestemte integraler ender ud med et tal. Hovedsætningen ved bestemte integraler lyder:
Et eksempel på brugen af dette kunne være, at man har
Dette kan også løses meget simpelt i Maple, ved at
Regneregler for bestemte integraler
Også ved bestemte integraler findes der naturligvis en række regneregler. Disse vil jeg nu gennemgå.
Regel 1 - Integration af sum og differens
For integration af sum og differens, altså at henholdsvis lægge to funktioner sammen og trække to funktioner fra hinanden, gælder følgende regler:
Bevis
Jeg vil så nøjes med at bevise reglen for sum, da beviset for reglen for differens er magen til. Det første jeg gør er, at jeg benytter reglen der siger at F og G er stamfunktioner til f og g:
Således ved jeg at:
Derfor bliver venstre side:
Og højre side bliver:
Det ses at
Regel 2 - Integration ved multiplikation med en konstant
For integration ved multiplikation med en konstant, altså en funktion gange en konstant, gør følgende sig gældende.
Bevis
For at bevise denne skal jeg benytte følgende regel, som jeg tidligere været omkring.
Venstre side:
Højre side:
Det ses at
Regel 3 - Indskudssætningen/Indskudsreglen
Den tredje regel går under betegnelsen indskudsreglen, og lyder således. Ved denne beregnes arealet mellem a og b, ved indskyde punktet c.
Som forklaring på brugen af denne kan illustrationen herunder benyttes.
Bevis
Regel 4 - Substitution i bestemte integraler
Reglen for substitution i bestemte integraler lyder som følger:
Også her er t = g(x).
Eksempel
Det ses at t er lig 3x - 4
t = 3x - 4
Nu kan vi isolere dx:
dt = 3*dx
Når x = 2 så er t = 3 * 2 - 4 = 2
Når x = 7 så er t = 3 * 7 - 4 = 17
Dvs.
Som notits hertil kan det nævnes, at
Regel 5 - Partiel integration
For funktioner f og g med stamfunktion G gælder at:
Arealberegninger
Handler om at finde arealet for vilkårlige funktioner, uden at deres grafiske placering i forhold til hinanden har nogen betydning. Vi forudsætter at vi har de to funktioner f(x) og g(x). Først findes arealet fra f og ned til x-aksen således:
Dernæst findes arealet fra g og ned til x-aksen:
Altså kan arealet mellem f og g findes ved at trække g fra f, og hovedsætningen for arealbestemmelse hedder da:
Dette illustreres i følgende figur:
Det kan dog forekomme at den ene(f(x)) er positiv, mens den anden(g(x)) er negativ. I så fald er det umiddelbart nødvendigt at forskyde graferne ved at lægge et meget stor tal til, således at de begge er positive. Således får man i stedet f+k og g+k, hvor c er en konstant. Arealet bliver nu lig med:
Men det ses nu, at man blot kan fjerne de to k, da disse går ud med hinanden, og altså ender man igen ude med:
Det vil sige at man altid bare kan tage integralet der ligger øverst minus integralet der ligger nederst.
Eksempel
Som eksempel på brugen af dette, vil vi bestemme arealet begrænset af f(x) = x2 - 4 og x-aksen. Det ses at vi har et toppunkt i -4.
Toppunkt = -4
Vi sætter x2 - 4 lig 0:
x2 - 4 = 0
X isoleres:
x = ± 2
Areal kan så beregnes:
Arealbestemmelse i Maple
Maple kan naturligvis også hjælpe os med at bestemme arealet, ligesom at den kan hjælpe os med at tegne grafen. Et eksempel på dette kunne være, at vi skulle bestemme arealet begrænset af f(x) = x2 + 2 og g(x) = 4x + 2. Vi ved så, at begrænsningerne opstår der hvor graferne møder hinanden, og derfor skal vi først finde skæringspunkterne mellem de to grafer, ved at sætte dem lig med hinanden
Skæringspunkterne mellem f og g finder jeg således.
x2 + 2 = 4x + 2
x2 = 4x
Skæringspunkterne bliver så x = 4 v x = 0, da 42 og 4*4 begge giver 16, mens 02 og 4*0 begge giver 0.
Nu kan vi så benytte Maple til at finde arealet ved at gøre som angivet herunder.
Opgaver til arealbestemmelse
Lad og lad g(x) være det approksimerende førstegradspolynomium( eller tangenten) til f i punktet (0,f(0)). Lad desuden
. Beregn arealet af området begrænset af funktionerne f, g og h.
Her vælger jeg igen at benytte Maple, hvor jeg først finder ligningen for g(x), hvilket ser ud som herunder.
Dernæst kan jeg lave et plot af de tre grafer f(x), g(x) og h(x).
Nu skal jeg så finde skæringspunkterne for graferne.
Hernæst benytter jeg reglen
