Funktioner

 

Funktioner

 

 ​​ ​​ ​​ ​​​​ 

 

 

Frederik​​ Hovmark Pedersen

 

 ​​ ​​ ​​ ​​​​ 

 

Indhold

 

 

 

 

 

 

 

Indledning

I denne emneopgave​​ vil jeg gennemgå emnet funktioner.​​ Her vil jeg starte med at gennemgå hvad en funktion er. Jeg vil så behandle emnerne omvendte funktioner og sammensatte funktioner. Jeg vil derefter se på nulpunkter, fortegnsvariation for f, monotoniforhold, ekstrema, samt definitions- og værdimængde.

I opgavebeskrivelsen til denne emneopgave er der givet en række opgaver. Disse opgaver vil jeg​​ løse​​ løbende, mens jeg gennemgår teorien for funktioner.​​ Til at løse disse opgaver vil jeg hovedsageligt benytte mig af Maple.​​ 

Hvad er en funktion?

En funktion er​​ kort sagt​​ en måde, hvorpå man præcis kan komme fra x til y = f(x).​​ Noget er en funktion, når der til en x-værdi kun er knyttet én y-værdi.​​ Det skrives y = f(x).​​ Det vil sige, at for eksempel​​ en lodret linje ikke er en funktion.​​ Et eksempel på en lodret linje kunne være x​​ =​​ 10, som skærer x-aksen i 10, og ikke skærer y-aksen.​​ Her​​ kan x = 10 svare til mange y-værdier, og​​ der er dermed ikke til en​​ x-værdi knyttet​​ en bestemt y-værdi.​​ Derimod er​​ en skrå linje samt​​ en vandret linje og så videre alle​​ funktioner.​​ Det vil sige at for eksempel​​ y = 10​​ er​​ en funktion, da denne er en vandret linje der skærer y-aksen i 10, og der​​ er​​ til en x-værdi kun er knyttet én y-værdi.​​ 

Et eksempel på en funktion kunne​​ også​​ være y = f(x) = 10x + 40, som vil blive vist som en skrå linje.​​ Dette er en førstegradsfunktion, da graden bestemmes af den eksponent som x har.​​ Dvs. førstegrad kunne hedde 10x1​​ + 40, mens eksponenten i en andengradsfunktion jo er x2.​​ Der er så også x3, x4​​ og så videre.

Ved en funktion der fx hedder 2x - 3x3​​ + 4x5​​ ​​ - x4, bestemmes funktionens grad, af den x-værdi med den højeste grad. Det vil sige​​ denne funktion er en femtegradsfunktion.​​ 

Mængden af x-værdier kaldes definitionsmængden Dm(f) og mængden af y-værdier kaldes værdimængden Vm(f).​​ 

Den omvendte funktion

Ved en funktion hvor der til hver y-værdi kun er knyttet én x-værdi, og ligeledes til hver x-værdi​​ kun én y-værdi, findes der​​ en omvendt funktion også kaldet en injektiv funktion, en-til-en funktion og så videre.​​ Det vil sige ved for eksempel​​ alle lineære funktioner som ikke er konstante, ved eksponentielle funktioner samt ved potensfunktioner.​​ 

Det man bruger omvendte funktioner til, er blandt andet til ligningsløsning i forbindelse med undersøgelse af mere avancerede funktioner såsom ln(x).​​ 

Noget der blandt andet kendetegner en omvendt funktion er, at en funktion og dens omvendte funktion​​ ved en spejling i y-aksen​​ dækker sig selv.​​ Som det ses​​ på billedet​​ herunder:

Det vil dermed sige, at hvis et punkt (x,y) ligger på f(x), ligger punktet​​ (x,y)​​ ​​ i den omvendte funktion​​ på f-1(x), som det er vist i de to skemaer herunder, hvor vi ser nogle punkter for x og y.

​​ 

x

-2

0

4

y = f(x)​​ 

-5

1

13

 

Omvendt funktion

x

-5

1

13

y = f-1(y)​​ 

-2

0

4

 

Det betyder så, at den omvendte funktion nu nemt ville kunne tegnes ind, ved hjælp af disse punkter.

Vil man så finde forskriften, kan man meget simpelt benytte​​ a =​​ y2-y1x2-x1​​ og derefter​​ b = y1​​ - a * x1​​ ​​ som vist herunder, hvor jeg har taget udgangspunkt i punkterne (13,4) og (1,0):

a =​​ y2-y1x2-x1​​ =​​ 4-013-1​​ =​​ 412 =​​ 13​​ 

b = y1​​ - a * x1​​ = 0 -​​ 13​​ * 1 = -​​ 13

Dvs. y = f-1​​ (x) = ​​ 13​​ * x - ​​ 13 ​​​​ 

Og her ses det jo så, at den omvendte funktion skrives som y = f-1(x)

Står man så i det tilfælde, at man har en forskrift for f(x) og skal finde den omvendte funktion, gøres dette som herunder, hvor jeg har taget udgangspunkt i f(x) = - 4x + 8:

Jeg​​ starter med at isolere​​ x:

y = -4x + 8

4x = -y + 8

x = -14y + 2

Dette kan jeg så skrive som:

x = f-1(y) = -14y + 2

Og nu kan jeg så omdøbe x og y, og​​ jeg får​​ derved​​ den​​ omvendte funktion:

y = f-1(x) = -14x + 2​​ 

 

Omvendt funktion i Maple

Maple kan naturligvis også benyttes til at finde den omvendte funktion, og det vil jeg nu komme med et eksempel på.​​ Hvis vi fx har forskriften f(x) = 5x - 10, så kan den omvendte funktion findes meget simpelt ved at gøre som jeg har gjort herunder:

 

Opgave

I opgavebeskrivelsen​​ til denne emneopgave​​ får jeg så​​ givet en opgave med​​ følgende informationer:

Ved kalkulation af en vares udsalgspris anvender en forretning følgende fremgangsmåde:

Indkøbspris:  x
+ Fragt:  10 kr
=Kostpris
+ Fortjeneste:50% af kostpris
=Salgspris excl. moms
+ Moms:  25%
=Salgspris incl. moms:f(x)

Jeg skal så bestemme salgsprisen inklusive moms i kr. f(x) som funktion af indkøbsprisen i kr. x.

Det vil sige at jeg har kostprisen:

(x+10)

Så ganger jeg med 1,5 for at få salgsprisen excl moms:

(x+10)*1,5

For at få salgsprisen incl moms ganger jeg så med 1,25:

((x+10)*1,5)*1,25

Det bliver så til:

(1,5x+15)*1,25 = 1,875x + 18,75

Altså hedder funktionen:

f(x) = 1,875x + 18,75

 

Jeg skal så finde indkøbsprisen i kr. som funktion af salgsprisen incl. moms i kr., hvilket bliver den omvendte funktion.

Jeg starter så med at isolere x:

y = 1,875x + 18,75

-1,875x =​​ -y +​​ 18,75

x​​ =​​ 0,53y - 10

Jeg kan så omdøbe x og y, og den omvendte funktion bliver så:

y = f-1(x) = 0,53x - 10​​ 

Sammensatte funktioner

Står man i den situation, at en beregnet værdi for en funktion, skal anvendes i en anden funktion, benyttes konstruktionen sammensatte funktioner.​​ Og som navnet antyder, er en sammensat funktion, en funktion der er sat ind i en anden funktion, hvorved der så dannes en ny funktion.

Hvis vi har funktionerne f(x) og g(x), skrives den sammensatte funktion som g(f(x)) eller (g◦f)(x), hvor f(x) er sat indeni g(x). Derved er g(x) så den ydre funktion, mens f(x) er den indre.

Et eksempel kunne være at​​ vi​​ har funktionerne f(x) = 2x + 1 og g(x) = 4x + 3.​​ Vi siger så, at x er lig 3. Derved kan f(x) udregnes:

f(3) = 2 * 3 + 1 = 7

Syv sætte så ind i g(x):

g(7) = 4 * 7 + 3 = 31 = g(f(3)) =(g◦f)(3)​​ 

Dette kan beskrives med

Opgave

Jeg får i opgavebeskrivelsen ligeledes givet en opgave vedr. sammensatte funktioner. Dermed denne opgave herunder, som et eksempel på hvordan​​ en sammensat funktion benyttes.

En person har et fritidsjob hvor personen får 200 kr. i fast løn hver måned + 50 kr. i timen. Jeg lader så x være antal arbejdstimer og f(x) være månedslønnen, og kan nu finde forskriften for f(x):

f(x) = 50x + 200

Personen beslutter sig så for en glad aften på Dampmøllen, hvor entrébilletten koster 50 kr. og drinks koster 40 kr. pr. stk. Her lader jeg så x være månedslønne i kr. og g(x) være antal drinks personen kan købe for sin månedsløn.​​ 

y = g(x) = (x+50)/40 = 1/40*x-50/40​​ =​​ 0,025x-1,25

g(x) = 0,025x - 1,25

Den sammensatte funktion g(f(x)) finder jeg så ved at sætte f(x) ind i g(x):

f(x) = 50x + 200

g(x) = 0,025x - 1,25

g(f(x)) = g(50x+200) = 0,025*(50x+200) - 1,25 = 1,25x + 3,75

Forskriften viser, hvor mange antal drinks man kan købe for sin månedsløn efter at have arbejdet x antal timer. Dette er når entrébiletten er trukket fra, og når den faste løn er lagt til.

Jeg vil så​​ beregne g(f(5)), hvor 5 så sættes ind i stedet for x:

g(f(5)) = -1,25*5 + 3,75 = 10

Tallet fortæller hvor mange drinks han kan købe hvis han har arbejdet fem timer.​​ 

 

Sammensat funktion i Maple

Maple kan naturligvis også hjælpe os med at finde den​​ sammensatte​​ funktion, dette​​ gøres ved at gøre som herunder, hvor jeg har taget udgangspunkt i 5x - 10:

 

 

I opgaven får vi så givet grafen f(x) = x3​​ + 2x2​​ - 4x - 8, og bliver derefter bedt om at foretage en analyse med udgangspunkt i følgende ting:

  • Definitionsmængde

  • Nulpunkter

  • Fortegnsvariation for f

  • Monotoniforhold

  • Lokale ekstrema​​ 

  • Værdimængde

Disse ting vil jeg derfor gennemgår herunder.​​ 

Nulpunkter

Nulpunkter er som bekendt skæring med x-aksen, hvilket vil sige, at man løser ligningen f(x) = 0.​​ 

Ved en førstegradsfunktion findes nulpunkterne jo så ved at sætte funktionen lig 0, og finde x, som jeg har gjort i eksemplet herunder:

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

 

Ved en andengradsfunktion finder man nulpunkter ved​​ at​​ finde diskriminanten, og derefter benytte formlen​​ x=-b±b2-4ac2a​​ som jeg har gjort i et eksempel herunder:​​ 

Nulpunkter: x2​​ - 4x + 3 = 0

A = 1 B = -4, C = 3

D = (-4)2​​ - 4 * 1 * 3 = 4

x=-(-4)±42*1​​ =​​ 4 ±22​​ =​​ 31

Dvs. løsningsmængden(L) = [3,1]

 

Ved en fakturiseret andengradsfunktion finder man nulpunkterne ved at​​ benytte nulreglen​​ som jeg har​​ gjort herunder:

(x + 2) * (x - 1) = 0

x + 2 = 0 v​​ x​​ - 1 = 0 (nulregel)

x = - 2 v x = 1

L​​ = [-2,1]​​ 

 

Ved en tredjegradsfunktion​​ som ikke har noget konstantled, kan jeg gøre som herunder, hvor jeg sætter x uden for parentes, og derefter løse det som en andengradsligning:

2x3​​ + x2​​ - 2x = 0

x * (2x2​​ + x - 2) = 0​​ 

x = 0 v 2x2​​ + x - 2 = 0 (her benytter jeg nulreglen)

A = 2, b = 1, c = -2

D = 12​​ - 4 * 2 * (-2) = 17

x=-1±172*2​​ =​​ 0,78-1,28

L = {0;0,78;-1,28}, altså er der tre nulpunkter.​​ 

 

Ved en fjerdegradsfunktion uden konstantled, kan jeg gøre som vist herunder, hvor jeg​​ flytter​​ x2​​ udenfor parentes, benytter nulreglen, og derefter løser de to sider hver for sig:​​ 

2x4​​ - 4x2​​ = 0

x2​​ * (2x2-4) = 0

x2​​ = 0 v 2x2​​ - 4 = 0 (nulregel)

x = 0 v 2x2​​ = 4

x = 0 v x2​​ = 2

x = 0 v x =​​ 2​​ v​​ -2

 

I stedet for at flytte​​ x2​​ udenfor parentes, kan jeg omdøbe x2​​ til z, som så bliver mit hjælpevariabel​​ (z=x2):

2x4​​ - 4x2​​ = 0

2 * (x2)2 ​​​​ - 4x2​​ = 0

2 * z2​​ - 4z = 0

z * (2 * z - 4) = 0

z = 0 v 2z - 4 = 0 (nulregel)

z = 0 v 2z = 4​​ 

z = 0 v z = 2

z = x2​​ = 0: x = 0

z = x2​​ = 2: x =​​ 2​​ v​​ -2

 

Nulpunkter i​​ Maple

Så kan jeg selvfølgelig også benytte Maple, som jeg vil gøre til denne opgave. Når jeg benytter Maple starter jeg med at indskrive min graf, hvorefter jeg trykker enter, og jeg får derefter noget der ser ud som​​ herunder.​​ 

Jeg højreklikker så på det blå, vælger plot, trykker 2D plot og grafen herunder fremkommer.

 

 

 

 

 

 

Nu hvor jeg har selve grafen, kan jeg finde mine nulpunkter. Det gør jeg ved at jeg starter med at skrive min funktion og sætte den lig nul. Derefter højre klikker jeg på det med blå skrift, vælger Solve og derefter Numerically Solve, og jeg får så værdierne herunder.

Nu har jeg så mine nulpunkter, som i dette tilfælde er -2, og 2.​​ Det er de to punkter der er vist med to røde pile i grafen.

Fortegnsvariation for f

Fortegnsvariation​​ for f beskriver grafens beliggenhed i forhold til x-aksen, hvilket vil sige, at det​​ handler om​​ hvornår grafen er henholdsvis over og under x-aksen.​​ Ligger grafen over x-aksen er fortegnet for f(x) positivt, og ligger grafen under x-aksen er fortegnet for f(x) jo så negativt.

Af nulpunkterne som jeg netop har fundet,​​ kan jeg sammen med grafen se, at f(x) er under x-aksen fra uendeligt til -2. I -2 er den så på​​ x-aksen. Fra -2 og til 2 er den igen under x-aksen. I 2 er den på x-aksen. Mens den fra 2 og til uendeligt er over x-aksen. Dette skrives således:

f(x) > 0 for x​​ ​​ ]2;∞[

f(x) = 0 for x = -2​​ ​​ x = 2

f(x) < 0 for x​​ ​​ ]-∞;-2[​​ ​​ ]-2;2[

Monotoniforhold

Handler om at man bestemmer i hvilke intervaller, i forhold til x-aksen, grafen vokser eller aftager. ​​ 

Her er jeg så nødt til at inddrage begrebet f’(x). Udtalt f mærke x.​​ F’(x) er differentialkvotienten til en funktion f(x), og den er defineret som hældningskoefficienten for en tangent i et bestemt punkt på grafen for en funktion. Dette er noget jeg vil gennemgå i min kommende emneopgave.​​ 

I denne opgave bruger jeg f’(x) i Maple, hvor jeg efter min graf skriver følgende:

 ​​​​ ​​ 

Punkterne -2 og 0,67 som jeg får,​​ er jo så x-værdierne til de to punkter, og​​ er så de punkter som jeg skal bruge til at se hvornår grafen er voksende/aftagende.

Derved kan jeg så, at grafen er voksende fra -∞ til -2, og igen fra 0,67 til ∞. Mens grafen er faldende fra -2 til 0,67. Dette skrives således:

f'(x) ≥ 0 for x​​ ​​ ]-∞;-2]​​ ​​ [0,67;∞[​​ dvs. f er voksende

f'(x) ≤ 0 for x​​ ​​ [-2;0,67]​​ dvs. f er aftagende

Ekstrema​​ 

Ved lokalt ekstrema taler man om et lokalt​​ maksimum og et lokalt minimum. Det lokale maksimum finder man i det punkt hvor f(x) varierer​​ +0-​​ på y-aksen,​​ mens det lokale minimum er i det punkt hvor f(x) varierer -0+​​ y-aksen.​​ ​​ 

Globalt ekstrema, som dermed er det globale maksimum og minimum, betyder at dette er funktionens​​ absolut​​ henholdsvis højeste​​ og​​ laveste y-værdi.​​ Dermed er​​ der​​ ingen globale ekstrema i den funktion jeg i denne opgave er blevet givet, da grafen​​ ikke er begrænset, men derimod​​ fortsætter henholdsvis op og ned uendeligt.

Men de lokale ekstrema finder jeg ved at skrive nedenstående efter de​​ punkter, jeg fandt ved monotoniforhold. De to punkter jeg finder nu er jo så y-værdierne til de x-værdier jeg fandt før:

​​ 

Derved kan jeg skrive, at der er:

Lokalt maksimum i (-2;0), da f’(x) varierer +0- omkring x = -2

Lokalt minimum i (0,67;-9,5) da f’(x) varierer -0+ omkring x = 0,67

Definitionsmængde

Definitionsmængden som betegnes med Dm(f), er mængden af de x, hvortil der er knyttet en funktionsværdi f(x), eller sagt på en anden måde, det er alle grafens x-værdier.

Og da denne graf jo​​ ikke er begrænset, og dermed​​ fortsætter uendeligt,​​ bliver Dm(f) = ]-∞;∞[.​​ Dette skrives også som Dm(f) = R.

Værdimængde

Værdimængden som betegnes med Vm(f),​​ er​​ grafens udstrækning målt på y-aksen.​​ Sagt på en anden måde, så er det alle grafens y-værdier.

Ligeledes bliver Vm(f) = ]-∞;∞[ eller Vm(f) = R.