Eksponentialfunktioner
Frederik Hovmark Pedersen
Indhold
Forskrift for eksponentialfunktion 2
Forskrift for eksponentialfunktion ud fra to punkter 3
Tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling 4
Skæringspunktet mellem to eksponentialfunktioner 5
Indledning
Gennem denne emneopgave vil jeg arbejde med eksponentielle funktioner. En eksponentiel funktion er en funktion der stiger eller falder med samme procentsats. Det vil sige, at en eksponentiel funktion kan benyttes til at udregne en udvikling over en bestemt tid. Et typisk eksempel på en eksponentiel udvikling, er et beløb der sættes i banken, og derefter vokser med en bestemt rentetilskrivning. En eksponentialfunktion kan dog også være prisudviklingen på en vare, befolkningsudviklingen i et land, produktionsanlæg i en virksomhed som afskrives efter saldometoden og så videre.
I min emneopgave vil jeg først gennemgå teorien for en eksponentielle funktioner. Her vil jeg komme ind på den generelle forskrift for en eksponentialfunktion, jeg vil tale om grafen for en eksponentialfunktion, om monotoniforhold, definitions- og værdimængde, og jeg vil se på hvordan man finder forskriften for eksponentialfunktion ud fra to punkter. Jeg vil se på tilnærmelsesvis eksponentielle udviklinger, på eksponentielle ligninger, hvor jeg vil komme ind på logaritmeregler og så videre. Og til sidst vil jeg se på fordoblings- og halveringskonstanten. Efterfølgende vil jeg så benytte teorien til at løse en række opgaver, der hovedsageligt omhandler eksponentielle funktioner.
Teori
Forskrift for eksponentialfunktion
Forskriften for en eksponentiel funktion er: f(x) = b * ax. Her er begyndelsesværdien så b, mens a er fremskrivningsfaktoren/afskrivningsfaktoren. Skal vi finde a er vi nødt til at kende den relative tilvækst(r), som er den procentvise stigning som decimaltal, og a findes så ved at sige 1 + r. Og endeligt, så er x antal terminer.
Et eksempel på en eksponentialfunktion kunne være, at vi har 500 kr. på en konto, som stiger med 5% p.a. Vi vil så vide hvor meget der er på kontoen efter 10 år. Funktionen bliver så: f(x) = 500 * (1+0,05)10 = 500 * 1,0510 = 814,45 kr.
Grafen
Grafen for en eksponentialfunktion kan naturligvis være enten voksende eller aftagende, alt efter om a er større eller mindre end 1. I grafen angiver begyndelsesværdien b så, hvor grafen skærer y-aksen. Tegning af grafen for en eksponentialfunktion i et almindeligt koordinatsystem kræver en del støttepunkter. Men der findes et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, som kan bruges i stedet. Det smarte ved dette specielle koordinatsystem er, at den eksponentielle funktion her bliver afbildet i rette linjer, og dermed er lettere at aflæse.
Monotoniforhold
Monotoniforholdene fortæller noget om, hvorledes grafen er voksende eller aftagende. Dette ses således:
f(x) er voksende når a er større end 1(a > 1) eller når r er større end 0(r > 0).
f(x) er aftagende når a er mindre end 1(a < 1) eller når r er større end -1 og mindre end 0(-1 < r < 0).
f(x) er konstant/vandret når a er lig med 1, eller når r er lig 0(a = 1 eller r = 0).
Dette fremgår af de tre grafer på næste side.
Definitions- og værdimængde
Definitionsmængden betegner det som x kan være. Her kan x være alle reelle tal. Definitionsmængden skrives Dm(f).
For værdimængden som er det y kan være gælder det, at den naturligvis aldrig vil komme under 0, og dermed skære x-aksen. Dette skyldes at den jo hele tiden aftager med en hvis procentdel af den selv. Værdimængden betegnes med Vm(f).
Forskrift for eksponentialfunktion ud fra to punkter
Skal du finde en forskrift for en eksponentiel funktion ud fra to punkter, gøres det ved først at finde a ved hjælp af formlen: a =
Herefter finder man så b, ved at sætte x og y fra et af punkterne, samt a ind i formlen: b =
Et eksempel er, at vi har to punkter, (x1,y1) som er (2,8), og (x2,y2) som er (7,48).
Fremskrivningsfaktor(a) bliver så:
a =
Begyndelsesværdien(b) findes så ved at sætte x1, y1 og a ind i formlen b =
b =
Og nu kan vi så lave forskriften som bliver:
y = f(x) = 3,91*1,43x
Et andet eksempel er, at vi har de to punkter (5,2) og (15,38)
Fremskrivningsfaktoren bliver så:
a =
Begyndelsesværdien bliver:
b = 2 * 1,3424-5 = 0,46
Og nu kan vi så lave forskriften:
y = f(x) = 0,46 * 1,3424x
Tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling
En tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling er, hvis vi har nogle punkter, som ligger næsten på grafen for en eksponentiel funktion. Dette afgøres så ud fra forklaringsgraden R2. Er R2 tæt på 1, betegnes grafen som værende tilnærmelsesvis eksponentiel.
Et eksempel er, at vi har punkterne (3,10), (6,13), (10,26) og (13,34). Her bliver R2 så 0,9911, hvilket betyder at R2 er meget tæt på 1, og dermed er udviklingen tilnærmelsesvis eksponentiel.
Denne graf ses herunder.
Eksponentielle ligninger
Med en forskrift for en eksponentiel udvikling er det muligt at beregne en vilkårlig funktionsværdi(y). Ved løsning af eksponentielle ligninger går man så den anden vej, og finder x(terminer). Det vil sige at man i en funktion y = f(x) = b * ax kender a, b og y, og dermed skal finde x. Til at finde x, og dermed løse en eksponentiel ligning, benyttes logaritmereglerne.
Når man snakker om logaritmer findes der to forskellige, titalslogaritmen og den naturlige logaritme. På lommeregneren findes titalslogaritmen som LOG, mens den naturlige hedder ln. Til løsning af eksponentielle ligninger kan de begge benyttes.
Ved logaritmer gælder følgende regler:
LOG(x*y) = LOG(x) + LOG(y)
LOG(
LOG(ax) = x * LOG(a)
Med udgangspunkt i disse regler kan man så finde løsningen til en eksponentiel udvikling. Et eksempel på det er, hvis vi har ligningen 2 *1,8x = 30. Fremgangsmåden bliver så således:
2 * 1,8x = 30
Vi dividerer med to på begge sider
1,8x =
Vi benytter LOG(ln kunne også benyttes)
LOG(1,8x) = LOG(15)
Reglen om at om LOG(ax) = x * LOG(a) benyttes
X * LOG(1,8) = LOG(15)
Vi dividerer med LOG(1,8) på begge sider
X =
Resultatet kan så tjekkes ved at sætte 4,6072 ind på x plads i funktionen f(x) = 2 * 1,8x. Og resultatet skulle så gerne give 30.
Et andet eksempel, hvor jeg benytter ln i stedet for LOG kunne være, at vi har en ligning der hedder 15 * 0,7x = 1.
15*0,7x = 1
Der divideres med 15 på begge sider
0,7x =
ln benyttes
ln(0,7x) = ln(0,0667)
Reglen om at om ln(ax) = x * ln(a) benyttes
X * ln(0,7) = ln(0,0667)
Der divideres med ln(0,7) på begge sider
X =
På baggrund af denne metode kan vi lave en formel som kommer til at hedde x =
Skæringspunktet mellem to eksponentialfunktioner
En anden form for eksponentiel ligning er, hvis vi skal finde skæringspunktet mellem graferne for to eksponentielle udviklinger. Til dette findes der ligeledes en formel:
b1 * a1x = b2 * a2x <=> x =
Her sættes tallene fra de to eksponentielle funktioner så ind. Og her kan man så igen benytte LOG i stedet for ln. Skal man så i stedet løse det som en ligning, gøres det således:
Vi har de to funktioner:
140*1,02x = 160*1,015x
De værdier der står opløftet i x samles på den ene side, og de andre på den anden.
Der udregnes.
1,0049x = 1,1429
Tallene sættes i ln, og reglen om ln(ax) = x * ln(a) benyttes
X * ln(1,0049) = ln(1,1429)s
Der divideres med ln(1,0049), og x er isoleret
x =
Fordoblingskonstanten
Fordoblingskonstanten er det x stiger når y = f(x) fordobles. Man kan sige at det er fordoblingstiden, og dermed tiden det tager at fordoble begyndelsesværdien(b). Der tales naturligvis kun om fordoblingstid, når grafen er voksende. Det vil sige, at a skal være større end 1(a > 1), eller r skal være større end nul(r > 0). Fordoblingskonstanten beregnes med formlen: x =
Et eksempel er, at der sættes 500 kr. ind på en konto, med en rente på 5% p.a. Fordoblings-konstanten bliver så: x =
Bevis for fordoblingskonstanten
f(x) = 2b <=>
b * ax = 2b <=>
x =
x =
Af denne formel fremgår det så, at det er lige meget hvad begyndelsesværdien er, det tager lige lang tid at fordoble det, hvis a er den samme. Fx vil det tage lige så lang tid at fordoble 10 kr. til 20 kr. som det vil tage at fordoble 10 mio. kr. til 20 mio. kr. hvis både de 10 kr. og de 10 mio. kr. står på en konto med 3% i rente.
Halveringskonstant
Halveringskonstanten er så det x stiger, når y = f(x) halveres. Det vil sige det er halveringstiden.
Halveringskonstanten beregnes med formlen: x =
Et eksempel på brugen af halveringskonstanten er, at vi har en b der hedder 50, og en a der hedder 0,8. Den eksponentielle funktion kommer så til at hedde: f(x) = 50 * 0,8x. Her bliver halveringskonstanten så: x =
Opgaver
Den gennemgåede teori vil jeg nu benytte til at løse en række opgaver, der hovedsageligt drejer sig om eksponentielle funktioner.
Opgave 1
Der er foretaget tre sæt målinger. Ved hjælp af Excel skal du nu undersøge, om det enkelte sæt måleresultater repræsenterer en lineær, en parabelformet eller en eksponentiel vækst.
Observationer: (2,10), (4,13), (9,25) og (12,33)
Denne udvikling er parabelformet, da R2 er tættest på 1, når tendenslinjen er polynomisk. Funktionen bliver så, som Excel viser, en andengradsfunktion der ser således ud: 0,0672x2 + 1,3935x + 6,7285.
Observationer: (1,49, (5,3), (8;2,6) og (11,2)
Her viser udviklingen sig også at være polynomisk, da det er her at R2 er tættest på 1. Funktionen kommer her til at hedde 0,0051x2 - 0,2555 + 4,2302.
Observationer: (2;1,22), (4;4,78), (8;19,2) og (12,43)
Igen er udviklingen er parabel, da det er ved en polynomisk udviklingen at R2 er tættest på 1. Vores andengradsfunktion kommer her til at hedde: 0,2963x2 + 0,0329x - 0,0523.
Opgave 2
Vi skal herefter se nærmere på lønudviklingen for ungarbejdere i årene 2006-2011:
År | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
Løn i kr./time | 115,20 | 122,50 | 125,10 | 135,43 | 143,43 | 146,89 |
Afbild punkterne i et koordinatsystem
Gør rede for om lønudviklingen kan beskrives som en eksponentiel voksende udvikling
Da R2 er over 0,7(og dermed tæt på 1) er der tale om en tilnærmelsesvis eksponentiel udvikling
Bestem ud fra to passende valgte punkter forskriften for eksponentialfunktionen
(0;115,2) og (1;122,5)
a =
b = 115,2 * 1,0634-0 = 115,2
f(x) = 115,2 * 1,0634x
Sammenlign din forskrift med den Excel når frem til. Hvorfor er der forskel?
Der er forskel, da den forskrift Excel har lavet er ud fra alle punkterne.
Hvad er timelønnen i 2020?
f(x) = 115,2 * 1,063412 = 240,87 kr.
Hvornår vil timelønnen være 170 kr. ?
170 = 115,2*1,0634x
1,4757 = 1,0634x
LOG(1,0634x) = LOG(1,4757)
x * LOG(1,0634) = LOG(1,4757)
x =
Hvornår vil timelønnen være fordoblet?
x =