Differentialregning

Frederik Hovmark Pedersen

Indholdsfortegnelse

Indledning

Gennem denne emneopgave vil jeg først kort gennemgå lidt teori, som jeg så vil benytte til at løse en række opgaver. Herved vil jeg komme gennem emnet differentialregning, hvor jeg vil se på hvad det er for en størrelse, og hvad en tangent er samt hvordan jeg finder tangenten til en graf. Jeg vil så også komme omkring sekanthældningen og forklare hvad dette er. Her vil jeg så komme til at snakke om blandt delta x og tretrinsreglen.

Teori

Differentialregning handler om at bestemme hældningskvotienten for tangenten til en funktion. Dermed kan differentialkvotienten, som beskrives som f’(x), betegnes som stigningstallet for en tangent. I daglig tale udtales f’(x) som f mærke af x.

En tangent er defineret som en ret linje, der netop rører(tangerer) grafen for en funktion(f(x)) i blot ét punkt. Dette punkt kaldes så for røringspunktet(x,f(x)). Tangenten kan blandt andet bruges til at fortælle om grafens hældning er positiv eller negativ. Dermed kan differentialregning benyttes til en masse i praksis. For eksempel hvis man har en f(x) der beskriver salget i stk., som en funktion af prisen x. Her kan f’(x) så benyttes til at angive hvo meget salget ændres, hvis der ændres på prisen.

Et eksempel på en tangent kan ses på billedet herunder:

$C:\Users\Frederik\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\02\clip_image001.png$

Et andet eksempel på hvordan differentialregning kan benyttes i virkelighedens verden kunne være, at man som virksomhed sagde, at x var lig antal stk. og at y = f(x) var de samlede omkostninger. I så fald ville f'(x), altså stigningstallet for tangenten, udtrykke væksten i de samlede omkostninger når produktionen ændres, da tangenten og grafen for f(x) så stort set følges ad(når ændring i x-værdi er meget lille).

Der findes en række regler som kan benyttes til at differentiere forskellige funktioner, disse ses herunder.

Lineær funktion

Her er f’(x) lig stigningstallet(a).

f(x) = ax + b => f'(x) = a, dvs. f'(x) = stigningstallet

Et eksempel på dette kunne være:

f(x) = 2x - 3 => f'(x) = 2

Det vil sige at hvis f(x) er en ret linje, altså en konstant der står alene, er der ingen tangent, da denne jo i så fald ville komme til at ligge oven på grafen.

f(x) = k => f'(x) = 0

For eksempel:

f(x) = 8 => f'(x) = 0

Gradsfunktion

Ved en andengradsfunktion ganges A med det tal som x er opløftet i, B kommer til at stå alene, og C forsvinder.

f(x) = A*x2 + B*x + C => f'(x) = 2 * A * x + B

Et eksempel på dette kunne være:

f(x) = -4x2 + 3x - 7 => f'(x) = -8x + 3

Polynomium

Et polynomium differentieres ved at sætte den værdi som N har ned foran x, hvorefter x så går en grad ned:

f(x) = xN => f'(x) = N * xN-1

Dette ser således ud:

f(x) = x8 => f'(x) = 8 * x7

Differentiation af sumfunktion og differensfunktion

Her differentierer man blot de to funktioner hver for sig og lægger så de to sammen.

h(x) = f(x) +(-) g(x) => h'(x) = f'(x) +(-) g'(x)

Et eksempel på dette kunne være:

h(x) = x3 + 4x + 1 => h(x) = 3x2 + 4

f(x) = x3 og g(x) = 4x + 1

Konstant gange en funktion

Her differentierer man f(x), og ganger så konstanten med f’(x).

g(x) = k * f(x) => g'(x) = k * f'(x)

Et eksempel på dette ses herunder:

g(x) = 4x3 + 7x2 => g'(x) = 4*3x2 + 7*2*x = 12x2 + 14x

Eksponentialfunktion

At finde f’(x) for en eksponentialfunktion er meget simpelt, dette gøres nemlig således.

f(x) = ex => f'(x) = ex

Logaritmefunktion

At differentiere en logaritmefunktion gøres ved at tage 1x.

f(x) = ln(x) = > ln'(x) = 1x

Kvadratrodsfunktion:

En kvadratrodsfunktion differentieres ved at 1 divideret med 2 gange kvadratroden af x, som det også fremgår herunder.

f(x) = x => f'(x) = 12x

Produktregel:

Her differentieres f(x), hvorefter f’(x) ganges med g(x), hvorefter g(x) differentieres, g’(x) ganges så sammen med f(x), og de to ting lægges så sammen.

h(x) = f(x) * g(x) => h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Et eksempel på dette ses herunder:

h(x) = ln(x) * (4x2 + 4x + 3)

f(x) = ln(x)

f'(x) = 1x

g(x) = (4x2 + 4x + 3)

g(x) = 8x + 4

h'(x) = 1x * (4x2 + 4x + 3) + ln(x) * (8x + 4)

Sammensat funktion:

Ved en sammensat funktion, differentieres f(g(x)) hvorefter g(x) differentieres, og de to ganges så med hinanden, som det ses herunder:

h(x) = f(g(x)) => h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Men står man så i den situation, at man skal bestemme tangentens hældning, og man blot kender det punkt som den skærer en graf i, så har man jo et problem, da der til formlen der bruges til at finde stigningstallet for en ret linje, a = y2-y1x2-x1, jo skal bruges to punkter. Her kommer sekanten så ind i billedet. En sekant er en linje der skærer en parabel i to punkter. Denne kan man så beregne stigningstallet for, hvorefter man kan lade den gå mod tangenten.

Jeg vil nu komme med den matematiske definition af differentialkvotienten. Til dette vil jeg komme til at benytte Δx som er ændringen i x-værdien. Det udtales delta x, og kommer at det græske bogstav delta(Δ).

Stigningstal for sekant:

Her ses det at vi har de to punkter (f(x+Δx),x+Δx) og (f(x),x), disse sættes så ind i formlen for a:

a = y2-y1x2-x1 = fx+∆x -f(x)x+∆x -x

Jeg kan så lade x og -x gå ud med hinanden så det I stedet hedder: a = fx+∆x -f(x)∆x .

Jeg lader nu Δx nærme sig 0, altså de to punkter(x og x+Δx) rykker tættere på hinanden.

fx+∆x -f(x)∆x ---> stigningstal for tangent

Definitionen på dette bliver så:

f'(x) = grænseværdi for fx+∆x -f(x)∆x når Δx -> 0

Jeg kan så ud fra dette komme med beviset for at differentialkvotienten for x2 er 2x(f(x) = x2 => f'(x) = 2x). Til dette vil jeg benytte en tretrinsregel, som jeg også vil komme til at benytte i opgaverne fra opgavesættet til denne emneopgave.

Trin 1 er at jeg finder sekanthældningen.

a = y2-y1x2-x1 = fx+∆x -f(x)x+∆x -x = x+∆x2-xx+∆x-x.

Trin 2 er så at jeg nu kan reducere.

a = x+∆x2-x2x+∆x-x	Jeg har det jeg skal have reduceret.
= x+∆x* x+∆x-x2∆x	Her ses det at x og -x går ud med hinanden, mens (x+Δx)2 er blevet til (x+Δx)*(Δx+x).
= (x2)+x∆x+∆xx+∆x2-x2∆x	Her er de to parenteser ganget med hinanden.
= (2*∆x)+∆x2∆x	Her er (xΔx) og (Δxx) lagt sammen, mens x2 og -x2 er gået ud med hinanden.
= (2x)+∆x = 2x + Δx	Her er der divideret med Δx, således at vi nu ikke kan reducere yderligere.

Trin 3 er så, at jeg vil lade Δx nærme sig 0(Δx -> 0). Dermed rykkes sekanthældningen tættere på tangenthældningen. Altså bliver sekanthældningen: a = 2x + Δx -> 2x. Lader man så fx Δx være 0,001, så bliver sekanthældningen 2x + 0,001, hvilket jo er meget tæt på tangenthældningen som var 2x.

Konklusionen på dette bliver at: f'(x) = 2x, da jeg har defineret f'(x) som grænseværdien for sekanthældningen når deltax går mod nul(Δx -> 0).

Som et ”praktisk” eksempel på dette vil jeg benytte de opgaver der er udleveret i forbindelse med denne emneopgave. Og jeg vil så til disse blandt andet benytte tretrinsreglen.

Opgaver

Først skal du differentiere m.m. med udgangspunkt i differentiationsreglerne:

Tegn grafen for funktionen f(x) = 3x² - 2x + 1 ( brug evt. Maple ).

Her benytter jeg Maple. Jeg skriver så nedenstående, højreklikker på skriften med blå, og kan derefter vælge at få vist et 2D plot af grafen, som også ses herunder.

Bestem f´(x) og forklar hvilke differentiationsregler du har brugt.

f’(x) findes ved at jeg tager det tal som x er opløftet i og ganger med det tal som står foran x. Herefter går x så en grad ned. Et eksempel på dette kunne være f(x) = 4x3. Dette bliver ved differentiation til f’(x) = 3*4x3-1 altså f’(x) = 12x2. Har man så blot f(x) = 3x, så bliver dette til f’(x) = 3. Og har man blot f(x) = 2, så bliver dette til f’(x) = 0.

Dermed kan en funktion fx hedde f(x) = 3x5 + 3x3 - 2x + 5. Ved differentiation bliver f mærke af x så f’(x) = 15x4 + 9x2 - 2.

I opgaven der er givet til denne emneopgave skal jeg så differentiere f(x) = 3x² - 2x + 1. Dette bliver så til:

f’(x) = 2*3x - 2 = 6x - 2

Jeg kan ligeledes benytte Maple til at differentiere, dette gøres meget simpelt ved at gøre som herunder.

Beregn f´(1) og forklar hvad denne størrelse viser.

f’(1) findes ved at sætte 1 ind på x plads således:

f’(1) = 6*1 - 2 = 4

Dette er så hældningen når x-værdien er 1.

Maple kan naturligvis ligeledes beregne f’(1) for mig, hvilket jeg har gjort herunder.

Bestem dernæst tangentligningen i punktet (1, f(1)) og indtegn denne
tangent i samme koordinatsystem som funktionen f.

Her benytter jeg Maple, hvor jeg starter med at finde røringspunktet. Når jeg har fundet dette, finder jeg stigningstallet(a). På baggrund af disse to tal kan jeg så finde skæringen med y-aksen(b). Dermed har jeg nu fundet a og b, og kan altså lave funktionen for tangenten. Dette ses herunder.

Efterfølgende kan jeg så lave en graf for tangenten ved at 2D plotte y = 4x - 2.

Denne kan jeg så kopiere og sætte ind i grafen jeg fandt i spørgsmål 1, så det ser ud som herunder.

Du skal nu prøve at bestemme f´(x) uden at bruge de sædvanlige differentiationsregler dvs. du skal tage udgangspunkt i sekanthældningen (se evt. E1 side 80 i din udmærkede matematikbog):

Hvad bliver sekanthældningen hvis sekanten går gennem to vilkårlige punkter (x,f(x)) og (x+∆x,f(x+∆x)) ? ( hvor f(x) =3x² - 2x + 1 )

Jeg har de to punkter som sekanten går gennem: (x,f(x)) og (x+Δx,f(x+Δx)).

Det første trin er så at jeg skal sætte de to punkter ind i formlen for a:

a = y2-y1x2-x1 = fx+Δx-f(x)x+Δx-x

Og da f(x) = 3x2 - 2x + 1 bliver det:

a = (3(x+Δx)2-2(x+Δx)+1) -(3x2-2x+1)x+∆x -x

Nu kan jeg så gå til trin 2 og begynde at reducere, hvilket jeg har gjort herunder:

a = (3(x+Δx)2-2(x+Δx)+1) -(3x2-2x+1)x+∆x -x	Resultatet jeg fandt frem til før.
= 3x+Δxx+Δx-2x-2Δx+1 -3x2+2x-1∆x	Her har ganget -2 ind i parentesen, ophævet minusparentes, og 3(x+Δx)2 er blevet til 3x+Δxx+Δx.
= 3x+Δxx+Δx-2Δx-3x2∆x	1 og -1 går ud med hinanden, ligesom 2x og -2x også gør det.
= 3x2+xΔx+Δx*x+(Δx)2-2Δx-3x2∆x	Parenteserne er her ganget med hinanden.
= 3x2+3xΔx+3Δxx+3Δx2-2Δx-3x2∆x	Jeg har her ganget 3 ind i parentesen.
= 3x2+6x*Δx+3(Δx)2-2Δx-3x2∆x	3xΔx og 3Δxx bliver til 6x*Δx.
= 6x*Δx+3(Δx)2-2Δx∆x	3x2 og -3x2 går ud med hinanden.
= 6xΔx+3Δx*Δx-2Δx∆x	3(Δx)2 ophæves og bliver til 3ΔxΔx.
= 6x+3Δx-2	Der divideres med Δx og vi får resultatet.

Og da resultatet jo gerne skal ligne tangenthældningen(f’(x) = 6x-2), så ser det jo meget godt ud.

Det tredje trin, som er at lade Δx gå mod nul, vil jeg gennemgå de kommende opgaver.

Hvad bliver sekanthældningen hvis ∆x=1 ? ∆x=0,5 ? ∆x=0,1 ? ∆x= 0,01 ? ∆x= 0,001 ?

Her benytter jeg så a som jeg fandt ovenfor:

a = 6x+3Δx-2

Jeg kan nu sætte henholdsvis 1, 0,5, 0,1 og så videre ind på Δx plads. Altså jeg lader Δx blive mindre og mindre:

∆x=1: 6x+3*1-2 = 6x + 1

∆x=0,5: 6x+3*0,5-2 = 6x - 0,5

∆x=0,1: 6x+3*0,1-2 = 6x - 1,7

∆x= 0,01: 6x+3*0,01-2 = 6x - 1,97

∆x= 0,001: 6x+3*0,001-2 = 6x - 1,997

Som det ses så ender sekanthældningen(6x-1,997) med at være tæt på tangenthældningen(6x-2).

Lad nu ∆x→0 ( svarende til at de to punkter nærmer sig hinanden ). Hvad sker der nu med sekanthældningen? Er det tangenthældningen vi finder? Er det f´(x) vi finder? Forklar!!

At jeg lader Δx nærme sig nul(Δx -> 0) betyder, at jeg lader sekanthældningen nærme sig tangenthældningen, således at sekanthældningen kommer til at ligne tangenthældningen. Og det er jo sådan set det jeg har gjort i ovenstående spørgsmål. Men den kan jo naturligvis nærme sig endnu mere. Jeg kunne fx lade Δx være 0,0001, som herunder.

∆x= 0,0001: 6x+3*0,0001-2 = 6x - 1,9997.

Og her er sekanthældningen jo så meget tæt på tangenthældningen(f’(x) = 6x - 2). Så kort fortalt så kan det siges at a = 6x+3Δx-2 -> 6x-2(grænseværdi). Dermed har jeg defineret den grænseværdi jeg når frem til som tangenthældningen.