2. Gradsfunktioner
Frederik Hovmark Pedersen
Indholdsfortegnelse
Skæringspunkter mellem to funktioner 6
Løsning af 2. gradsuligheder 7
Indledning
I min emneopgave vil jeg først gennemgå teorien om 2. gradsfunktioner. Jeg vil komme ind på grundlæggende ting om 2. gradsfunktioner og 2. gradsligninger. Jeg vil komme ind på grafen for en 2. gradsfunktion, og se på hvad A, B og C betyder for grafen. Jeg vil komme ind på hvordan diskriminanten, nulpunkter og toppunkt beregnes og hvordan man finder skæringspunkterne mellem to grafer. Jeg vil se på løsning af 2. gradsuligheder, på definitions- og værdimængde, på monotoniforhold, og på specielle andengradsligninger. Teorien vil jeg så efterfølgende benytte til at løse en række opgaver.
Teori om 2. Gradsfunktioner
Den generelle formel for en 2. gradsfunktion: y = Ax2 + Bx + C. Som det ses, så har en 2. gradsfunktion tre såkaldte konstanter(hvilket er betegnelsen for A, B og C), fx så har en 1. gradsfunktion to konstanter(a og b). Grafen for en 2. gradsfunktion ses som en parabel, og jeg kommer senere ind på, hvordan denne graf påvirkes af de tre konstanter. Herunder ses parablen x2, som også er kaldet grundparablen.
Undervejs i min opgave vil jeg både beskæftige mig med 2. gradsfunktioner og 2. gradsligninger, men hvad er forskellen på disse. Det er meget simpelt det, at en 2. gradsfunktion, naturligvis er en funktion der er lig f(x), mens en 2. gradsligning som en ligning er lig 0.
En 2. gradsfunktion: y = f(x) = 2x2 - 4x + 3.
En 2. gradsligning: 2x2-4x + 3 = 0
Hvad betyder A for grafen
A fortæller hvordan paralen vender. Er A positiv er parablen ”glad”, og toppunktet i parablen er dermed det nederste punkt. Er A negativ, er parablen ”sur”, og toppunktet er dermed det øverste punkt i parablen. A fortæller også hvor åben eller lukket parablen er, jo større A er desto stejlere og mere lukket er parablen. Og jo mindre A er, desto bredere og mere åben er parablen. Alt dette ses således:
A > 0: Grenene opad(glad)
A < 0: Grenene nedad(sur)
A > 1: Parablen smallere end grundparablen(y = x2)
A < 1 Parablen bredere end grundparablen
Hvad betyder B for grafen
B fortæller noget om hvordan parablen flytter sig fra side til side på x-aksen. Der er her to muligheder. Hvis A og B har samme fortegn, rykker grafen til venstre. Og hvis A og B har modsat fortegn, rykker grafen til højre. Dette ses således:
A er større end nul(A > 0). Her rykker grafen sig så til venstre, hvis B er større end nul/positiv(B > 0). Og til højre hvis B er mindre end nul/negativ(B < 0).
A er mindre end nul(A < 0). Her rykker grafen sig til højre, hvis B er større end nul(B > 0). Og til venstre hvis B er mindre end nul(B < 0).
Hvad betyder C for grafen
C er skæring med y-aksen. Dette ses ved, at y = f(0) = A*02 + B * 0 + C = C, dvs. skæring med y-aksen er i (0,C), hvilket vil sige at x-værdien altid er 0, og C er altså dermed skæring med y-aksen. Er C større end nul, rykker parablen opad i forhold til grundparablen. Og er C mindre end nul, rykker parablen nedad i forhold til grundparablen.
Diskriminanten
Til beregning af toppunkt, nulpunkt osv. er det vigtigt at kende diskriminanten. Den beregnes via formlen:
D = B2 - 4 * A * C
Toppunkt
Toppunktet er lige nøjagtig toppen a parablen, dvs. at satte man en streg ned igennem den, ville parablen være ens/symmetrisk på begge sider af stregen. (x,y) til toppunktet beregnes ved hjælp af formlen (
Hvis vi fx har en funktion der hedder 2x2+ 3x - 3, beregnes toppunktet således:
y = f(x) = 2x2+ 3x - 3
Vi finder A, B og C:
A = 2, B = 3, C = -3
Diskriminanten beregnes:
D = 32 - 4 * 2 * (-3) = 33
Tallene indsættes i formlen (
Toppunkt = (
Herefter tjekkes det så om resultatet stemmer overens med parablen
Toppunkt
Nulpunkter
Et nulpunkt er der hvor y er lig nul, hvilket vil sige, at det er skæring med x-aksen. Et eksempel er af vi har en funktion der hedder f(x) = 2x2 + 4x - 3. Nulpunkterne er så der hvor y = f(x) = 0. Det vil sige, 2x2 + 4x - 3 = 0, hvilket jo er en 2. gradsligning. Konklusionen på det er så, at finde nulpunkter er lig at løse en 2. gradsligning.
Nulpunkterne findes ved først at beregne diskriminanten. Herefter er der tre muligheder:
Diskriminanten er større end nul(D > 0), og der vil her være to nulpunkter. Til at beregne disse to nulpunkter bruges så nulpunktsformlen:
Diskriminanten er lig med nul(D = 0), i så fald er der et nulpunkt. Til at finde dette nulpunkt benyttes formlen:
Diskriminanten er mindre end nul(D < 0), og der er her ingen nulpunkter/løsning: L = Ø
Efter at have udregnet diskriminanten insættes denne samt A og B i nulpunktsformlen, og vi får jo som sagt enten et eller to nulpunkter, alt efter om D er positiv eller lig nul. Jeg har så to eksempler:
Eksempel 1
y = f(x) = x2 + x - 2 = 0
Vi finder A, B og C:
A = 1 B = -1 C = -2
Vi finder D:
D = B2 - 4 * A * C = (-1)2 - 4 * 1 * (-2) = 9
Vi finder de to nulpunkter:
Eksempel 2
-2x2 - 9x - 4 = 0
Vi finder A, B og C:
A = -2 B = -9 C = -4
Vi finder D:
D = B2 - 4 * A * C = (-9)2 - 4 * (-2) * (-4) = 49
Vi finder de to nulpunkter:
Skæringspunkter mellem to funktioner
At finde skæringspunktet mellem to funktioner, gøres ved at sætte de to funktioner, som kunne hedde f(x) og g(x), lig hinanden, hvorefter de løses som en ligning, hvor 0 skal stå på højre side. Derefter reduceres der så man får en 2. gradsligning, og man finder A, B og C. Ved hjælp af dem kan man så finde diskriminanten, som sammen med A og B skal bruges i nulpunktsformlen. Efter beregning af denne, får man så to punkter(hvis D er positiv), som er x-værdier til første og andet skæringspunkt. Er D lig nul får man naturligvis kun en x-værdi, og der vil dermed også kun være et skæringspunkt mellem de to funktioner. Herefter tager man så først den ene x-værdi og indsætter på x plads i enten f(x) eller g(x). efter udregning får man så en y-værdi til det skæringspunkt. Ved at indsætte den anden x-værdi i den samme funktion, finder man så også y-værdien til denne. Og man har nu de to skæringspunkter.
Vi har de to de to funktioner:
f(x) = 3x2 - 2x - 1
g(x) = - x2 + 2x + 2
De sætte så lig med hinanden, og løses som en ligning, hvor vi skal have 0 på højre side:
f(x) = g(x)
3x2 - 2x - 1 = -x2 + 2x + 2
3x2 - 2x - 2 + x2 - 2x - 2 = 0
Der reduceres:
4x2 - 4x - 3 = 0
Vi finder A, B og C:
A = 4, B = -4, C = -3
Vi finder D:
D = (-4)2 - 4 * 4 * (-3) = 64
Tallene sættes ind i nulpunktsformlen:
Vi indsætter så først 1,5, og derefter -0,5 på x plads:
x = 1,5: y = f(1,5) = 3 * 1,52 - 2 * 1,5 - 1 = 2,75
x = -0,5: y = f(-0,5) = 3 * (-0,5)2 - 2 * (-0,5) - 1 = 0,75
Skæringspunkter:
(1,5;2,75) og (-0,5;0,75)
Og som det ses af grafen herunder, så passer skæringspunkterne.
Løsning af 2. gradsuligheder
Ved løsning af 2. gradsuligheder, som jeg har et eksempel på herunder, løser vi det først som en ulighed, hvor vi skal have 0 på højre side af ulighedstegnet. Herefter finder vi nulpunktet/nulpunkterne, ved først at finde diskriminanten, og derefter indsætte D, A og B i nulpunktsformlen. Er 2. gradsfunktionen så større end nul, som i mit eksempel herunder, så vil løsningen være alle de x-værdier der ligger over nul. Mens det hvis 2. gradsfunktionen var mindre end nul, ville være alle x-værdierne under nul der ville være løsningen.
2x2 - 7x + 5 > x2 - 3x + 2
Det løses som en ulighed, hvor 0 skal stå på højre side:
2x2 - 7x + 5 - x2 + 3x - 2 > 0
Der reduceres:
X2 - 4x + 3 > 0
Nulpunkter:
x2 - 4x + 3 = 0
Vi finder A, B og C:
A = 1 B = -4, C = 3
Diskriminanten beregnes:
D = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 4
De to nulpunkter findes:
Af grafen set:
X2 - 4x + 3 > 0 for x < 1 eller x > 3
Definitionsmængde og værdimængde
Definitionsmængden er det som x kan være. Det vil sige det angiver de værdier der kan sættes ind på x plads i en funktion. Dette angives som Dm(f).
Værdimængden er så det som y kan være. Dvs. har vi en 2. gradsfunktion som har et toppunkt der hedder (-2, 5), og som har en A værdi der er positiv(så vi får en glad parabel), så kan y være alt fra 5 til uendeligt, hvilket angives således: Vm(f) = [5;∞[.
Monotoniforhold
Monotoniforhold handler om hvornår grafen er voksende/aftagende. Som det ses af grafen herunder, der går igennem punkterne 1 og 4. så er grafen aftagende i intervallet ]-∞;2,5], og voksende i intervallet [2,5;∞[.
Specielle 2. gradsligninger
Der kan forekomme to specielle former for 2. gradsligninger. B kan være lig nul, og C kan være lig nul. Er A lig nul, er der jo naturligvis ikke tale om en 2. gradsfunktion, men en 1. gradsfunktion.
I mit første eksempel er B lig 0
4x2 - 16 = 0
Vi finder A, B og C
A = 4 B = 0 C = -16
Vi får 4x2 til at stå alene på venstre side:
4x2 - 16 = 0
4x2 = 16
Der reduceres:
x2 = 4
Vi finder nulpunkterne/løsningen:
x = ± √4 =
I mit andet eksempel er C lig 0
-3x2 + 27x = 0
Vi finder A, B og C
A = -3, B = 27, C = 0
x*(-3x+27) = 0
x = 0 v -3x + 27 = 0
x = 0 v -3x = -27
x = 0 v x =
For at tjekke om det passer, kan vi fx indsætte 9 på x plads:
-3 * 92 + 27 * 9 = 0
-243 + 243 = 0
Opgaver
Opgavebeskrivelse:
En virksomhed producerer specialbatterier til modelskibe, og en undersøgelse af markedet har vist følgende sammenhæng mellem afsætningen i stk (x) og prisen i kroner for et batteri (f(x)).
Afsætning i stk. | 10 | 20 | 50 | 100 | 600 |
Pris i kr. pr. stk. | 790 | 780 | 750 | 700 | 200 |
Ved produktion af batterierne har virksomheden variable omkostninger på kr. 100 pr. batteri samt en fast omkostning på 50.000,- kr.
Bestem forskriften for prisen f(x), som en funktion af afsætningen
Vi finder a:
a =
Vi finder b:
b = 790 - (-1)*10 = 800
Og nu kan vi lave funktionen:
f(x) = -x + 800
Bestem omsætningen g(x) som pris gange mængde
g(x) = x * (-x + 800) = - x2 + 800x
Beregning af toppunkt i g(x), hvilket er den størst mulige omsætning
g(x) = -x2 + 800x
Vi finder A, B og C:
A = 1, B = 800, C = 0
Beregning af diskriminanten:
D = 8002 - 4 * 1 * 0 = 640.000
Beregning af toppunktet:
T =
Det vil sige at den størst mulige omsætning er på 160.000, hvilket fås ved en afsætning på 400. Altså er x afsætningen og y er omsætningen.
Skal man finde den dertil svarende enhedspris for varen, indsætter man 400 på x plads i prisfunktionen f(x) = -x + 800:
f(400) = -400+800 = 400
Bestem forskriften for de samlede omkostninger, som vi kalder h(x)
h(x) = 100x + 50.000
En graf der viser forskriften for omsætning(g(x)), og forskriften for de samlede omkostninger(h(x))
Forskriften for overskuddet, denne kalder vi n(x)
n(x) = g(x) - h(x)
n(x) = -x2 + 800x - (100x + 50.000)
n(x) = -x2 + 700x - 50.000
Beregning af den størst mulige nettofortjeneste, hvilket er toppunktet i n(x)
-x2 + 700x - 50.000
Vi finder A, B og C:
A = -1, B = 700, C = 50.000
Beregning af diskriminanten:
D = 7002 - 4 * (-1) * (-50.000) = 290.000
Vi finder toppunktet:
T =
Det vil sige at den størst mulige nettofortjeneste er på 72.500, og den fås ved et salg på 350.
Beregning af nulpunktsomsætningen:
-x2 + 700x - 50.000
Vi finder A, B og C:
A = -1, B = 700, C = 50.000
Beregning af diskriminanten:
D = 7002 - 4 * (-1) * (-50.000) = 290.000
Nulpunkter:
Dvs. L = ]80,74;619,29[ eller 80,74 < x < 619,29
Hvilket vil sige, at i intervallet 80,74 til 619,29 på x-aksen er der overskud. Er x så under 80,74, eller over 619,29 er der underskud.
Beregning af den pris der giver den største nettofortjeneste, hvilket er enhedsprisen
Denne beregnes ved at tage funktionen for pris som hedder -x + 800, og indsætte 350(x-værdien fra toppunktet til den størst mulige nettofortjeneste) på x plads:
f(350) = -350+800 = 450
Enhedsprisen kan dog også beregnes ved at bruge g(x), som var forskriften for omsætningen, og så indsætte 350 på x plads:
g(x) = -x2 + 800x
g(350) = -3502 + 800 * 350 = 157.500
Dette resultat divideres så med 350(som var afsætningen):
157.500/350 = 450